能旋轉的多項式：伽羅瓦理論與五次方程的不可解

一個能旋轉的多項式：為什麼五次方程沒有公式解？

你已經知道群（group）、環（ring）、體（field）各自是什麼，也看過「對稱性就是群」的直覺。現在我們問一個更尖銳的問題：人類花了三百年尋找五次方程的根式解（radical solution），最後阿貝爾（Abel）與伽羅瓦（Galois）證明它不存在。這個「不存在」不是「我們還沒找到」，而是一個可以嚴格證明的數學事實。

關鍵在於：方程的可解性，竟然被一個群的內部結構決定。一個關於數字的問題，答案藏在對稱性的層次裡。本文要帶你走進這條把體、群、與「可解性」綁在一起的橋梁——伽羅瓦理論（Galois theory）的核心機制，並順帶釐清入門篇沒空細談的幾個結構：商群、正規子群、與體擴張（field extension）。

體擴張：把體當成向量空間

入門篇告訴你體是「加減乘除都能做」的結構，例如 $\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$。進階的第一步，是學會把一個體看成「另一個體上的向量空間」。

考慮 $\mathbb{Q}$ 與 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$。後者的定義是

$$\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{\, a + b\sqrt{2} : a, b \in \mathbb{Q} \,\}.$$

注意一件事：$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 裡的每個元素都能寫成 $a \cdot 1 + b \cdot \sqrt{2}$，也就是用 $\{1, \sqrt{2}\}$ 這兩個「基底」加上 $\mathbb{Q}$ 的係數線性組合而成。換句話說，$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的一個二維向量空間。

我們把這個維度稱為擴張次數（degree of extension），記作

$$[\mathbb{Q}(\sqrt{2}) : \mathbb{Q}] = 2.$$

這個觀點威力驚人，因為它讓我們能用線性代數的工具研究體。一個立刻的結果是塔法則（tower law）：若 $K \subseteq L \subseteq M$ 是一連串體擴張，則

$$[M : K] = [M : L] \cdot [L : K].$$

維度可以相乘，就像 $\dim$ 在向量空間裡的行為。

看一個例子：$\sqrt[3]{2}$ 為什麼不能尺規作圖

古希臘三大難題之一是「倍立方」：給定一個立方體，用尺規作出體積兩倍的立方體。這要求作出長度 $\sqrt[3]{2}$。

尺規作圖的代數本質是：從 $\mathbb{Q}$ 出發，每一步「取交點」最多解一個二次方程，所以每作出一個新數，擴張次數最多乘以 $2$。因此所有尺規可作的數，其在 $\mathbb{Q}$ 上的擴張次數必為 $2$ 的某次方 $2^n$。

但 $\sqrt[3]{2}$ 是不可約多項式 $x^3 - 2$ 的根（用艾森斯坦判別法 Eisenstein's criterion，取 $p=2$ 即知不可約），所以

$$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) : \mathbb{Q}] = 3.$$

$3$ 不是 $2$ 的次方。塔法則告訴我們：若 $\sqrt[3]{2}$ 在某個尺規可作體 $L$ 中，則 $3 = [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]$ 必須整除 $[L:\mathbb{Q}] = 2^n$，矛盾。倍立方不可能。

請體會這個論證的美：一個關於圓規直尺的幾何問題，被一個整除性論證（$3 \nmid 2^n$）終結。這正是抽象代數的力量——把問題搬到對的結構上，難題就變顯然。

正規子群與商群：群也能「除法」

要談伽羅瓦理論的群這一側，必須先補上入門篇通常略過的兩個概念。

給定群 $G$ 與子群 $H$，左陪集（left coset）是 $gH = \{ gh : h \in H \}$。這些陪集把 $G$ 切成大小相等的碎片（拉格朗日定理 Lagrange's theorem 的來源）。但我們想做的更多：能不能把這些碎片本身當成一個新群的元素？

只有當 $H$ 是正規子群（normal subgroup）時才行。正規的定義是：對所有 $g \in G$，

$$gHg^{-1} = H,$$

記作 $H \trianglelefteq G$。此時左陪集等於右陪集，我們可以良好地定義陪集的乘法 $(g_1 H)(g_2 H) = (g_1 g_2) H$，得到商群（quotient group） $G/H$。

直覺上，$G/H$ 是「把 $H$ 壓縮成單位元」之後剩下的對稱性。例如 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 就是把整數加法群裡「$n$ 的倍數」全部當成 $0$，得到時鐘算術（modular arithmetic）。

為什麼非正規不行？若 $gHg^{-1} \neq H$，那麼乘法 $(g_1 H)(g_2 H)$ 的結果會依你選哪個代表元而改變——運算不是良定義（well-defined）的。這是初學者最常踩的雷：以為任何子群都能取商。不行，只有正規子群可以。

伽羅瓦對應：體的塔，群的塔，上下顛倒

現在把兩側接起來。給定一個體擴張 $L/K$（讀作「$L$ 在 $K$ 上」），定義它的伽羅瓦群（Galois group）

$$\mathrm{Gal}(L/K) = \{\, \sigma : L \to L \text{ 為體自同構，且 } \sigma|_K = \mathrm{id} \,\}.$$

白話：所有「攪動 $L$、但完全不動 $K$ 裡元素」的對稱變換。這些 $\sigma$ 在合成下構成一個群。

看一個例子：$\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ 的伽羅瓦群

考慮 $L = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$，$K = \mathbb{Q}$。由塔法則，

$$[L : \mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(\sqrt 2, \sqrt 3) : \mathbb{Q}(\sqrt 2)] \cdot [\mathbb{Q}(\sqrt 2):\mathbb{Q}] = 2 \cdot 2 = 4.$$

任何 $\sigma \in \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ 必須把 $\sqrt 2$ 送到 $x^2 - 2$ 的某個根（$\pm\sqrt 2$），把 $\sqrt 3$ 送到 $\pm\sqrt 3$。四種獨立選擇：

$$\sigma : \sqrt 2 \mapsto \pm\sqrt 2, \quad \sqrt 3 \mapsto \pm\sqrt 3.$$

於是 $|\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})| = 4$，且每個非單位元的平方都是單位元，所以

$$\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$

（克萊因四元群 Klein four-group）。注意 $|\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})| = 4 = [L:\mathbb{Q}]$——這個「群階等於擴張次數」的相等，正是 $L/\mathbb{Q}$ 是伽羅瓦擴張的標誌。

伽羅瓦理論基本定理（Fundamental Theorem of Galois Theory） 說：在伽羅瓦擴張 $L/K$ 中，「介於 $K$ 與 $L$ 之間的中間體（intermediate field）」與「$\mathrm{Gal}(L/K)$ 的子群」之間，存在一個一一對應，而且是反序的（inclusion-reversing）。

對 $\mathbb{Q}(\sqrt 2, \sqrt 3)$ 而言：

• 最大的體 $L$ ↔ 最小的群 $\{e\}$；
• 最小的體 $\mathbb{Q}$ ↔ 整個群 $\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2$；
• 三個中間體 $\mathbb{Q}(\sqrt 2)$、$\mathbb{Q}(\sqrt 3)$、$\mathbb{Q}(\sqrt 6)$ ↔ 三個階為 $2$ 的子群。

體的塔和群的塔，像照鏡子一樣彼此對應，只是上下顛倒。問體的結構，等於問群的結構——而群通常好處理太多了。

動手試試：用群結構判斷可解性

伽羅瓦理論最壯觀的應用，是把「方程可否用根式解」翻譯成群論的語言。

一個多項式 $f$ 可用根式解 $\iff$ 它的伽羅瓦群是可解群（solvable group）。可解群的定義是：存在一串正規子群

$$\{e\} = G_0 \trianglelefteq G_1 \trianglelefteq \cdots \trianglelefteq G_n = G,$$

使得每一段的商群 $G_{i+1}/G_i$ 都是交換群（abelian）。

直覺上，「開根號」這個動作對應一個交換的對稱性（循環群），所以「能用一連串開根號解出」就對應「群能被拆成一連串交換的商群」。

現在來算一般五次方程的情況。一般五次多項式（係數視為獨立變元）的伽羅瓦群是對稱群 $S_5$（$5$ 個根的所有排列）。它包含正規子群——交錯群 $A_5$：

$$\{e\} \subseteq A_5 \subseteq S_5.$$

$S_5/A_5 \cong \mathbb{Z}/2$ 是交換的，這一段沒問題。但 $A_5$ 自己呢？關鍵事實是：

$$A_5 \text{ 是單群（simple group）：除了 } \{e\} \text{ 和自身外沒有正規子群，且非交換。}$$

既然 $A_5$ 非交換又無法再被正規子群分割，它無法被拆成交換商群的塔。因此 $S_5$ 不可解，一般五次方程沒有根式解。

把這個論證和 $n \leq 4$ 對照：$S_2, S_3, S_4$ 都是可解群（$S_4$ 有 $\{e\} \trianglelefteq V_4 \trianglelefteq A_4 \trianglelefteq S_4$ 這條全交換商的鏈），所以二、三、四次方程都有公式解。分水嶺恰好出現在 $n = 5$，因為 $A_5$ 是最小的非交換單群。三百年的謎題，答案是一個群的單性。

重點回顧

• 體擴張是向量空間：$[L:K]$ 是 $L$ 視為 $K$-向量空間的維度，塔法則讓維度可相乘，是攻克尺規作圖三大難題的關鍵工具。
• 只有正規子群能取商：$gHg^{-1} = H$ 是商群運算良定義的充要條件；非正規子群取商會破壞良定義性，這是常見迷思。
• 伽羅瓦對應是反序雙射：中間體 ↔ 伽羅瓦群的子群，上下顛倒。體的問題被翻譯成群的問題。
• 可解性 = 群可解：方程有根式解 $\iff$ 伽羅瓦群是可解群（商群鏈全為交換）。
• 五次方程的關卡是 $A_5$：$A_5$ 是非交換單群，使 $S_5$ 不可解，故一般五次方程無根式解。

深入探討（研究所視角）

把上面的故事放回現代代數的版圖，有幾條值得繼續走的路徑。

1. 分裂體與正規／可分性的精確條件。 我們略過了「伽羅瓦擴張」的嚴格定義。完整地說，有限擴張 $L/K$ 是伽羅瓦的，當且僅當它同時是正規（normal）（$L$ 是某組多項式的分裂體 splitting field）且可分（separable）（極小多項式無重根）的。在特徵 $0$ 或有限體上可分性自動成立，但在特徵 $p$ 的體（如 $\mathbb{F}_p(t)$）會出現不可分擴張，例如 $x^p - t$，這時 $|\mathrm{Gal}(L/K)| < [L:K]$，伽羅瓦對應會失效。研究所的代數課會用可分度與不可分度把塔法則細分。

2. 無限伽羅瓦理論與 profinite 群。 當 $L/K$ 是無限擴張（例如 $\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$，代數數體的絕對伽羅瓦群 absolute Galois group），子群與中間體的樸素雙射會崩潰——必須在 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 上裝克魯爾拓撲（Krull topology），雙射只對閉子群成立。$\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ 是當代數論的聖杯級對象，它的表現論連結到朗蘭茲綱領（Langlands program）。

3. 從伽羅瓦理論到上同調。 群作用於體會誘導出伽羅瓦上同調（Galois cohomology） $H^n(\mathrm{Gal}(L/K), M)$。希爾伯特定理 90（Hilbert's Theorem 90）可重述為 $H^1(\mathrm{Gal}(L/K), L^\times) = 0$，它是類體論（class field theory）與 Brauer 群理論的基石，也解釋了某些 Diophantine 方程的局部－整體原則（local-global principle）何時成立。

4. 反伽羅瓦問題（Inverse Galois Problem）。 我們從擴張求群，反過來問：給定一個有限群 $G$，是否一定存在 $\mathbb{Q}$ 上的伽羅瓦擴張使 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q}) \cong G$？這個問題對所有有限群是否成立至今未解，是代數數論的著名開放問題。已知所有可解群都能實現（Shafarevich 定理），許多單群也已被構造，但一般情形仍懸而未決。

5. 環論視角的回望。 別忘了體只是環的特例。中間體對應到的，其實是 $L$ 在某些子群作用下的不變環/不變體；把這個想法推廣到一般環與群作用，就進入不變量理論（invariant theory） 與幾何不變理論（GIT），是代數幾何處理「商空間」的核心。當你下次看到 $G/H$ 這個商群符號，可以想：它和代數幾何裡的商簇 $X /\!/ G$，本質上是同一種「用對稱性化約結構」的衝動。

從一個「五次方程有沒有公式」的問句出發，我們穿過體擴張、商群、伽羅瓦對應，最後抵達當代數論與代數幾何的門口。這正是抽象代數作為一門「結構之學」的承諾：學會看出結構，看似無關的問題就會在同一個框架下彼此映照。