二次曲線的不變量與射影視角：當解析幾何變成矩陣代數

當「畫圖」變成「算矩陣」：二次曲線的不變量與射影視角

入門篇我們學會把圓、橢圓、拋物線、雙曲線寫成代數方程，再用配方、判別式、聯立去拆解它們。那是一種「以代數描述幾何」的技術。但這裡有一個更深的問題會立刻浮現：當你旋轉、平移座標軸時，方程式的係數會整批改變，可是「這條曲線是橢圓」這個事實卻不該因為你換了角度看而改變。換句話說，方程式的係數是表象，真正的幾何身分藏在係數的某些組合裡——這些組合在座標變換下保持不變，稱為不變量（invariant）。

進階篇要做的，就是把解析幾何從「逐題配方」升級成「看不變量、用矩陣、必要時跳進射影平面」。這套語言一旦掌握，你能在幾步之內判別任意二次曲線的類型，能理解為什麼橢圓、拋物線、雙曲線其實是同一個東西在不同無窮遠處的切片，也能看懂計算機視覺、計算幾何裡那些「齊次座標（homogeneous coordinates）」到底在幹嘛。

一般二次曲線：把它寫成矩陣

平面上最一般的二次曲線（conic）方程是

$$ A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0. $$

逐項處理很痛苦，但只要引入一個對稱矩陣，整個結構就清楚了。定義

$$ M = \begin{pmatrix} A & B/2 & D/2 \\ B/2 & C & E/2 \\ D/2 & E/2 & F \end{pmatrix}, \qquad A_{33} = \begin{pmatrix} A & B/2 \\ B/2 & C \end{pmatrix}. $$

那麼整條曲線可以寫成一個簡潔的二次型（quadratic form）：若令齊次向量 $\mathbf{x} = (x, y, 1)^\top$，則

$$ \mathbf{x}^\top M \mathbf{x} = 0. $$

請自行展開驗證——你會發現對角線給出 $A x^2, C y^2, F$，而非對角線的因子 $B/2, D/2, E/2$ 各出現兩次，剛好湊回 $Bxy, Dx, Ey$。這個「把交叉項的係數對半拆到對稱位置」的小技巧，是所有二次型操作的起手式。

矩陣 $M$ 叫做曲線的大矩陣，左上角 $2\times 2$ 的 $A_{33}$ 叫小矩陣（或主部矩陣）。接下來所有判別、分類、化簡，全都讀這兩個矩陣的數值特徵。

三個不變量：類型不靠係數，靠組合

座標變換（旋轉 + 平移）在這套語言裡，等於對 $\mathbf{x}$ 乘上一個矩陣 $P$，於是 $M \mapsto P^\top M P$。關鍵的代數事實是：這種合同變換（congruence transformation）會改變 $M$ 的個別元素，卻保留以下三個量的符號（在旋轉這種正交變換下嚴格不變，在平移下也不變）：

$$ \Delta = \det M, \qquad \delta = \det A_{33} = AC - \tfrac{B^2}{4}, \qquad S = \operatorname{tr} A_{33} = A + C. $$

• $\Delta$（大行列式）判斷曲線是否退化。$\Delta \ne 0$ 是真正的圓錐曲線；$\Delta = 0$ 則退化成一對直線、一點或空集。
• $\delta$（小行列式）判斷類型：$\delta > 0$ 為橢圓型，$\delta = 0$ 為拋物型，$\delta < 0$ 為雙曲型。注意 $\delta = AC - B^2/4$ 正是入門篇那條判別式 $B^2 - 4AC$ 的反號（差一個正因子 $-4$），所以你早就見過它，只是現在知道它是某矩陣的行列式。
• $S = A + C$ 在類型確定後用來細分（例如判斷是真橢圓還是無實點的「虛橢圓」，以及在化簡時提供特徵值的線索）。

把這三者組成一張判別表，整個高中「配方分類」就被一張表取代了：

這張表的威力在於：你完全不需要把方程式化簡，只要算兩個行列式。

旋轉消去交叉項：特徵值就是新係數

當 $B \ne 0$，曲線的主軸不平行座標軸，圖形看起來「歪」的。入門篇用旋轉角公式 $\cot 2\theta = (A - C)/B$ 把 $xy$ 項消掉。進階視角更乾淨：消去 $xy$ 項等價於把對稱矩陣 $A_{33}$ 對角化。

因為 $A_{33}$ 是實對稱矩陣，譜定理（spectral theorem）保證它有兩個實特徵值 $\lambda_1, \lambda_2$，且存在正交矩陣 $Q$ 使 $Q^\top A_{33} Q = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2)$。在新座標 $(x', y')$ 下，二次部分就變成

$$ \lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2. $$

於是兩個特徵值「就是」消去交叉項後的兩個平方係數。而且由特徵多項式的係數比較可知：

$$ \lambda_1 \lambda_2 = \det A_{33} = \delta, \qquad \lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr} A_{33} = S. $$

這立刻解釋了為什麼 $\delta$ 決定類型：$\delta > 0$ 表示兩特徵值同號（同號平方項 → 橢圓），$\delta < 0$ 表示異號（異號平方項 → 雙曲線），$\delta = 0$ 表示有一個特徵值為零（退化成只剩一個平方項 → 拋物線）。整個分類學在這裡收斂成一句話：圓錐曲線的類型，就是其主部矩陣特徵值的符號組合（sign signature）。

跳進射影平面：三種曲線其實是一家人

橢圓有界、拋物線單臂張開、雙曲線兩支分離——它們看起來毫無關係。但在射影平面（projective plane） $\mathbb{RP}^2$ 上，它們是同一條曲線在不同位置與「無窮遠線」相交的結果。

齊次座標把平面點 $(x, y)$ 寫成 $[X : Y : Z]$，其中 $x = X/Z$、$y = Y/Z$，且 $[X:Y:Z]$ 與 $[\lambda X : \lambda Y : \lambda Z]$（$\lambda \ne 0$）視為同一點。$Z = 0$ 的那些點不對應任何有限平面點，它們組成無窮遠線（line at infinity），代表「方向」。

二次曲線在齊次座標下就是 $\mathbf{X}^\top M \mathbf{X} = 0$，$\mathbf{X} = (X, Y, Z)^\top$，跟前面的大矩陣 $M$ 完全是同一個。現在問：這條曲線跟無窮遠線 $Z = 0$ 相交於幾點？把 $Z = 0$ 代入，剩下

$$ A X^2 + B XY + C Y^2 = 0. $$

這是關於比值 $(X : Y)$ 的齊次二次方程，它的判別式正是 $B^2 - 4AC = -4\delta$。於是：

• $\delta < 0$（雙曲線）：$B^2 - 4AC > 0$，與無窮遠線交於兩個實點——對應雙曲線的兩條漸近線方向。
• $\delta = 0$（拋物線）：$B^2 - 4AC = 0$，與無窮遠線相切於一點——對應拋物線唯一的開口方向。
• $\delta > 0$（橢圓）：$B^2 - 4AC < 0$，與無窮遠線無實交點（只有一對共軛複數方向）——所以橢圓「不跑到無窮遠」，是有界的。

這就是統一的圖像：橢圓、拋物線、雙曲線是同一類射影二次曲線，差別只在於它和無窮遠線的相交方式（不交、相切、交兩點）。你甚至可以透過一個射影變換把任何一種變成另一種——這正是「圓錐曲線」這個古老名字背後最現代的詮釋：它們都是同一個圓錐被不同平面切出來的截痕，而那個「不同平面」在代數上就是不同的射影變換。

看一個例子

判別並化簡曲線

$$ 5x^2 - 4xy + 8y^2 - 36 = 0, $$

求其類型、主軸方向與標準形。

第一步：寫出矩陣。 對照 $A=5,\ B=-4,\ C=8,\ D=E=0,\ F=-36$：

$$ M = \begin{pmatrix} 5 & -2 & 0 \\ -2 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & -36 \end{pmatrix}, \qquad A_{33} = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}. $$

第二步：算不變量。

$$ \delta = \det A_{33} = 5\cdot 8 - (-2)^2 = 40 - 4 = 36 > 0, $$

所以是橢圓型。再算大行列式（沿第三列展開，只有 $-36$ 一項非零）：

$$ \Delta = \det M = -36 \cdot \det A_{33} = -36 \cdot 36 = -1296 \ne 0, $$

非退化，確實是真橢圓。又 $S = A+C = 13 > 0$ 而 $\Delta < 0$，故 $\Delta \cdot S < 0$，確認為實橢圓（有實點）。

第三步：對角化主部矩陣。 特徵方程

$$ \det(A_{33} - \lambda I) = (5-\lambda)(8-\lambda) - 4 = \lambda^2 - 13\lambda + 36 = 0, $$

解得 $\lambda = \dfrac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}$，即 $\lambda_1 = 4,\ \lambda_2 = 9$。驗證：$\lambda_1 \lambda_2 = 36 = \delta$，$\lambda_1 + \lambda_2 = 13 = S$，與不變量一致。

第四步：求主軸方向。 對 $\lambda_1 = 4$，解 $(A_{33} - 4I)\mathbf{v} = 0$：

$$ \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}\mathbf{v} = 0 \ \Rightarrow\ v_1 = 2 v_2 \ \Rightarrow\ \mathbf{v}_1 = (2, 1)/\sqrt{5}. $$

對 $\lambda_2 = 9$，得正交方向 $\mathbf{v}_2 = (-1, 2)/\sqrt{5}$。兩主軸彼此垂直（對稱矩陣的不同特徵值對應正交特徵向量，這是必然）。

第五步：寫標準形。 在主軸座標 $(x', y')$ 下方程變為

$$ 4x'^2 + 9y'^2 = 36 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x'^2}{9} + \frac{y'^2}{4} = 1. $$

所以這是半長軸 $a = 3$（沿 $\mathbf{v}_1 = (2,1)$ 方向）、半短軸 $b = 2$（沿 $\mathbf{v}_2 = (-1,2)$ 方向）的橢圓。注意一個容易搞混的細節：較小的特徵值 $\lambda_1 = 4$ 對應較長的軸，因為標準形的分母是 $36/\lambda$，特徵值越小、分母（半軸平方）越大。整個過程沒有用到任何旋轉角的三角公式，純線性代數一氣呵成。

重點回顧

1. 任意二次曲線都可寫成 $\mathbf{x}^\top M \mathbf{x} = 0$，其中 $\mathbf{x}=(x,y,1)^\top$，$M$ 為對稱大矩陣（交叉項係數對半拆到對稱位置）。
2. 三個不變量 $\Delta=\det M$、$\delta=\det A_{33}$、$S=\operatorname{tr}A_{33}$ 決定一切：$\Delta$ 看退化、$\delta$ 看類型、$S$ 細分；它們在座標變換下不變，所以反映的是真正的幾何身分而非係數表象。
3. 消去交叉項 = 對角化主部矩陣 $A_{33}$；兩個特徵值就是化簡後的平方係數，且 $\lambda_1\lambda_2=\delta$、$\lambda_1+\lambda_2=S$。類型即特徵值的符號組合。
4. 特徵向量給出主軸方向，較小特徵值對應較長半軸；全程不需旋轉角三角公式。
5. 射影視角統一三類曲線：橢圓、拋物線、雙曲線分別與無窮遠線「不交 / 相切 / 交兩點」，是同一射影二次曲線的不同切面。

深入探討（研究所視角）

把二次曲線寫成對稱矩陣，只是一個更大故事的入口。以下幾條線索值得在大學進階課程與研究中繼續追：

Sylvester 慣性定律與分類的真正基礎。 我們說「類型 = 特徵值符號組合」並非偶然，背後是 Sylvester 慣性定律（Sylvester's law of inertia）：任何實對稱矩陣在合同變換下，正、負、零特徵值的個數（即慣性指標 inertia）是不變量。圓錐曲線分類本質上是把 $3\times 3$ 對稱矩陣 $M$ 與 $2\times 2$ 主部 $A_{33}$ 按慣性指標歸類。這個觀點直接推廣到三維的二次曲面（quadric surface）——橢球、雙曲面、拋物面、錐面的分類，就是 $4\times 4$ 與 $3\times 3$ 對稱矩陣慣性指標的窮舉，邏輯完全平行。

射影、仿射、度量的分層幾何。 Klein 的 Erlangen 綱領（Erlangen program）告訴我們，幾何學可以按「允許哪些變換」分層。在射影群下，所有非退化圓錐曲線等價（沒有橢圓／拋物／雙曲之分）；降到仿射群（保留無窮遠線）才分出三類；再降到等距群（保留距離與角度）才有離心率、焦點這些度量概念。所以高中談的「離心率 $e$」是最精細的度量不變量，而 $\delta$ 的符號是較粗的仿射不變量——它們是同一座標化幾何在不同變換群下看到的不同層次的不變量。理解這個分層，你會知道哪些性質在投影（如相機成像）下會保留、哪些會扭曲。

對偶與線圓錐曲線。 在射影平面裡，點與線是對偶的：一條線也可以用三個齊次座標表示。二次曲線除了「點圓錐曲線」$\mathbf{X}^\top M \mathbf{X}=0$，還有由其切線族構成的「線圓錐曲線」，由伴隨矩陣（adjugate）$M^*$ 描述，滿足 $\boldsymbol{\ell}^\top M^* \boldsymbol{\ell}=0$。這套對偶在計算幾何與計算機視覺裡是核心工具：相機標定（camera calibration）中的「絕對圓錐曲線（absolute conic）」、多視幾何（multiple view geometry）中的基礎矩陣（fundamental matrix）$F$，都是這同一套齊次二次型語言的直接後裔。當你在影像處理函式庫裡求兩張影像之間的單應矩陣（homography），背後算的就是射影變換矩陣 $P$ 如何把一個 $M$ 變成 $P^\top M P$。

數值穩定性與條件數。 真實資料（如從影像偵測到的橢圓邊緣點）擬合二次曲線時，直接最小化代數誤差 $\sum (\mathbf{x}_i^\top M \mathbf{x}_i)^2$ 會偏向退化解，且對 $A_{33}$ 的條件數（condition number）敏感。Fitzgibbon 等人提出的「直接最小平方橢圓擬合（direct least squares ellipse fitting）」在約束 $4AC - B^2 = 1$（即 $4\delta = 1$）之下求解，把問題轉成廣義特徵值問題（generalized eigenvalue problem），保證解必為橢圓。這正是不變量 $\delta$ 從「分類判據」升格為「最佳化約束條件」的一個漂亮應用——理論不變量直接決定了演算法的數值行為。

一個值得親手驗證的小命題。 試證：對任意旋轉 $Q\in SO(2)$，$\operatorname{tr}A_{33}$ 與 $\det A_{33}$ 都不變。提示——旋轉作用是 $A_{33}\mapsto Q^\top A_{33} Q$，而跡與行列式在這種相似變換下不變（$\operatorname{tr}(Q^\top A Q)=\operatorname{tr}(A Q Q^\top)=\operatorname{tr}A$，$\det(Q^\top A Q)=\det Q^\top \det A \det Q=\det A$）。動手算一遍，你就會親眼看到「不變量」三個字在矩陣代數裡是如何被精確兌現的——這也是把解析幾何徹底線性代數化之後，最值得帶走的一個直覺。