虛數單位 i 與複平面：被一個方程式逼出來的新數字

一個方程式逼我們發明新數字

想像你正在解一個再普通不過的二次方程式：$x^2 + 1 = 0$。移項之後得到 $x^2 = -1$。但在實數的世界裡，任何數的平方都不會是負的：正數平方為正，負數平方也為正，零平方為零。於是這個方程式「沒有解」——至少在你只認識實數（real numbers）的時候是這樣。

數學史上，這種「沒有解」的窘境曾讓無數人卻步。但十六世紀的義大利數學家在求解三次方程式時發現一件奇妙的事：即使最後的答案是漂亮的實數，計算過程中卻不得不經過「負數開根號」這道關卡。換句話說，這些「不存在」的數字像是一條隧道，你必須鑽進去，才能從另一端走回真實世界。

於是數學家做了一個大膽的決定：既然 $\sqrt{-1}$ 不存在，那我們就定義它存在。這個被定義出來的新成員，就是虛數單位（imaginary unit），記作 $i$。

虛數單位 $i$ 的誕生

我們直接給出定義：虛數單位 $i$ 是一個滿足下列等式的數：

$$i^2 = -1$$

請注意，這裡的「imaginary（想像的）」其實是個歷史誤稱。$i$ 並不比負數或無理數更「虛假」——它只是另一種我們為了讓數系完整而引入的對象。當年笛卡兒（Descartes）用「imaginary」一詞時帶有貶意，但這個名字就這樣沿用下來了。

有了 $i$，我們立刻能寫出許多原本無解的方程式的解。例如 $x^2 = -1$ 的解就是 $x = i$ 與 $x = -i$。而 $x^2 = -9$ 呢？

$$x^2 = -9 = 9 \times (-1) = 9 i^2 \quad\Rightarrow\quad x = \pm 3i$$

一般地，對任意正實數 $a$，我們有 $\sqrt{-a} = \sqrt{a}\,i$。

$i$ 的次方有週期性

由 $i^2 = -1$ 出發，我們可以逐步算出 $i$ 的各次方：

$$i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = i^2 \cdot i = -i, \quad i^4 = (i^2)^2 = 1$$

接下來 $i^5 = i^4 \cdot i = i$，整個循環又從頭開始。也就是說，$i$ 的次方以 $4$ 為週期循環：$i, -1, -i, 1, i, -1, \dots$

這個性質很實用。想算 $i^{2026}$ 嗎？只要看指數除以 $4$ 的餘數：$2026 = 4 \times 506 + 2$，餘數是 $2$，所以

$$i^{2026} = i^2 = -1$$

常見迷思提醒：很多人會寫 $\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9} = \sqrt{(-4)(-9)} = \sqrt{36} = 6$，這是錯的。複數開根號不滿足 $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ 這條對正實數才成立的規則。正確做法是先把每個負數的根號拆成 $i$ 形式：$\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9} = (2i)(3i) = 6i^2 = -6$。

複數：實部與虛部的組合

光有 $i$ 還不夠。我們真正想要的是一個能容納「實數」與「虛數」的完整數系。於是定義複數（complex number）為以下形式的數：

$$z = a + b i, \qquad a, b \in \mathbb{R}$$

其中 $a$ 稱為實部（real part），記作 $\operatorname{Re}(z) = a$；$b$ 稱為虛部（imaginary part），記作 $\operatorname{Im}(z) = b$。請特別留意：虛部 $b$ 本身是個實數，它是 $i$ 前面的係數，而不包含 $i$。

所有複數構成的集合記為 $\mathbb{C}$。實數只是複數的特例（虛部為 $0$），純虛數則是實部為 $0$ 的複數。

兩個複數相等，當且僅當它們的實部與虛部分別相等：

$$a + bi = c + di \iff a = c \text{ 且 } b = d$$

複數的四則運算

加減法非常直觀，把實部與虛部分別相加減即可：

$$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$$

乘法則把 $i$ 當作普通符號展開，再用 $i^2 = -1$ 化簡：

$$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bd\,i^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$$

除法稍微巧妙。我們要用到共軛複數（complex conjugate）的概念：$z = a + bi$ 的共軛記作 $\bar{z} = a - bi$。共軛最關鍵的性質是「一個複數乘以它自己的共軛，會得到實數」：

$$z \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 + b^2$$

於是要計算 $\dfrac{a+bi}{c+di}$，我們把分子分母同乘分母的共軛，讓分母變成實數：

$$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$$

看一個例子

設 $z_1 = 3 + 2i$、$z_2 = 1 - 4i$，我們把四種運算都做一遍。

加法： $$z_1 + z_2 = (3 + 1) + (2 - 4)i = 4 - 2i$$

乘法： $$z_1 z_2 = (3)(1) + (3)(-4i) + (2i)(1) + (2i)(-4i) = 3 - 12i + 2i - 8i^2$$ $$= 3 - 10i - 8(-1) = 11 - 10i$$

除法：把分子分母同乘 $z_2$ 的共軛 $\bar{z}_2 = 1 + 4i$： $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{(3 + 2i)(1 + 4i)}{(1 - 4i)(1 + 4i)} = \frac{3 + 12i + 2i + 8i^2}{1 + 16} = \frac{-5 + 14i}{17} = -\frac{5}{17} + \frac{14}{17}i$$

驗算分母：$1^2 + 4^2 = 17$，正確。

複平面：把數字畫成箭頭

實數可以排在一條數線上，但複數有兩個自由度（實部與虛部），自然需要一個平面才放得下。這就是複平面（complex plane），又稱阿岡圖（Argand diagram）。

我們把複數 $z = a + bi$ 對應到平面上的點 $(a, b)$：橫軸是實軸（real axis），縱軸是虛軸（imaginary axis）。於是每一個複數既是一個點，也可以看成從原點指向該點的一個向量（箭頭）。

這個幾何視角立刻讓抽象的運算「看得見」：

• 加法就是向量的平行四邊形相加。
• 共軛 $\bar{z}$ 是把 $z$ 對實軸做鏡射。
• 乘以 $i$ 相當於把向量逆時針旋轉 $90^\circ$——這是個極漂亮的事實，下面會解釋。

模長與輻角

在複平面上，複數 $z = a + bi$ 到原點的距離稱為模長（modulus，或絕對值）：

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

它與共軛有個簡潔關係：$|z|^2 = z\bar{z}$。

而這個向量與正實軸所夾的角度稱為輻角（argument），記作 $\arg(z) = \theta$，滿足

$$\tan\theta = \frac{b}{a}$$

有了模長 $r = |z|$ 與輻角 $\theta$，我們可以把複數寫成極式（polar form）：

$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$

動手試試

試把 $z = 1 + \sqrt{3}\,i$ 改寫成極式。

先算模長： $$|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$$

再算輻角：$\tan\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$，且 $z$ 落在第一象限（實部、虛部皆正），故 $\theta = 60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$。

所以

$$z = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$$

你可以反過來驗證：$2\cos\frac{\pi}{3} = 2 \times \frac12 = 1$，$2\sin\frac{\pi}{3} = 2 \times \frac{\sqrt3}{2} = \sqrt3$，確實還原成 $1 + \sqrt3\,i$。

為什麼乘以 $i$ 是旋轉 $90^\circ$

這是複數最迷人的核心。把任意複數 $z = a + bi$ 乘以 $i$：

$$iz = i(a + bi) = ai + bi^2 = -b + ai$$

原本的點 $(a, b)$ 變成了 $(-b, a)$。如果你在方格紙上畫畫看，會發現 $(-b, a)$ 正是 $(a, b)$ 逆時針旋轉 $90^\circ$ 後的位置。

更一般地，用極式來看就更清楚了。設 $z_1 = r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha)$、$z_2 = r_2(\cos\beta + i\sin\beta)$，把它們相乘並套用三角函數的和角公式，可以得到：

$$z_1 z_2 = r_1 r_2 \big[\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta)\big]$$

也就是說：複數相乘時，模長相乘、輻角相加。$i$ 的模長是 $1$、輻角是 $90^\circ$，所以乘以 $i$ 不改變長度，只把角度加上 $90^\circ$——這就是旋轉的來源。複數因此成為描述平面旋轉與縮放最自然的語言，在電機工程的交流電路、訊號處理、量子力學中都扮演關鍵角色。

重點回顧

• 虛數單位 $i$ 定義為滿足 $i^2 = -1$ 的數；其次方以 $4$ 為週期循環：$i, -1, -i, 1$。
• 複數寫成 $z = a + bi$，$a$ 是實部、$b$ 是虛部（且 $b$ 本身為實數）；實數是虛部為 $0$ 的特例。
• 共軛 $\bar{z} = a - bi$ 滿足 $z\bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$，是複數除法化簡的關鍵工具。
• 複平面把複數視為點或向量，模長 $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ 是長度，輻角 $\theta$ 是方向。
• 複數相乘等於「模長相乘、輻角相加」，因此乘以 $i$ 對應逆時針旋轉 $90^\circ$。
• 切記負數開根號不滿足 $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，務必先各自化為 $i$ 形式再運算。

深入探討（研究所視角）

複數真正的威力，要到把極式與指數函數連起來時才完全展開。歐拉公式（Euler's formula）斷言：

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

這個式子可由 $e^x$、$\cos x$、$\sin x$ 的泰勒級數（Taylor series）並排比較得出：把 $e^{i\theta}$ 展開，將實部與虛部分組，恰好分別重組成 $\cos\theta$ 與 $\sin\theta$ 的級數。當 $\theta = \pi$ 時得到被譽為「最美方程式」的歐拉恆等式 $e^{i\pi} + 1 = 0$，將 $e$、$i$、$\pi$、$1$、$0$ 五個基本常數合於一式。有了它，極式就濃縮成 $z = re^{i\theta}$，而棣莫弗定理（De Moivre's theorem）$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$ 也成為指數律 $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$ 的直接推論，求複數的 $n$ 次方根因而化為輻角均分的問題：方程式 $z^n = 1$ 的 $n$ 個解平均分布在單位圓上，構成所謂的「$n$ 次單位根」（roots of unity）。

複數系最深刻的理論成果是代數基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）：任何次數 $\ge 1$ 的複係數多項式，在 $\mathbb{C}$ 中必有根。換言之，$\mathbb{C}$ 是「代數封閉」（algebraically closed）的——當初我們只為了解 $x^2 + 1 = 0$ 而引入 $i$，沒想到一舉補全了所有多項式方程式的解。這正回應了開頭的母題：發明一個新數，竟讓整個代數世界自我完備。

把視野再放遠一些，複數在分析學中孕育了複變函數論（complex analysis）這門學科。一個複變函數若處處可微（稱為「全純」holomorphic），就會滿足柯西–黎曼方程（Cauchy–Riemann equations），並自動具備無窮可微、可展開成冪級數等遠比實函數強大的性質。柯西積分定理告訴我們，全純函數沿封閉路徑的線積分為零——這類結果在計算實數定積分、求解物理場論問題時威力驚人。從跨領域的角度看，複數早已不只是「解方程式的技巧」：在電機領域，阻抗以複數表示讓交流電路分析得以套用直流的歐姆定律；在量子力學中，波函數本質上取值於複數，機率幅的相位資訊正承載於虛部；在訊號處理中，傅立葉變換（Fourier transform）以 $e^{i\omega t}$ 為基底分解訊號。當年被笛卡兒譏為「想像」的數，如今已是描述真實世界振盪與旋轉現象不可或缺的語言。