漲價導致買得少，還是「買得少的時段剛好漲價」？破解計量的內生性陷阱

漲價導致買得少，還是「買得少的時段剛好漲價」？——當相關不等於因果

入門篇我們用價格與銷量的散布圖，畫出一條向下傾斜的迴歸線，得出「漲價之後人們買得比較少」的結論。看起來乾淨俐落，但這裡藏著一個會讓任何計量經濟學（econometrics）審稿人皺眉的陷阱：你估到的，真的是需求曲線嗎？

想像一杯手搖飲。夏天最熱、人潮最多的那幾週，店家因為原料成本上升而漲價；冬天客人少，店家為了清庫存而降價。如果你把「全年的價格 vs 銷量」丟進迴歸，你可能會發現——價格高的時候銷量「也」很高。一條向上傾斜的線。難道漲價反而讓人想買？

當然不是。你看到的不是需求曲線，而是供給與需求同時移動之後，那些交點所連成的軌跡。這篇進階篇要處理的，正是入門篇刻意略過的核心問題：為什麼樸素的迴歸會系統性地估錯，以及計量經濟學發明了哪些武器來把「因果」從「相關」裡撈出來。

內生性：迴歸最危險的敵人

回到入門篇的迴歸式。我們想估計需求方程：

$$ Q_t = \alpha + \beta P_t + \varepsilon_t $$

其中 $Q_t$ 是銷量、$P_t$ 是價格、$\varepsilon_t$ 是「其他影響需求但我們沒放進模型的因素」——天氣、人潮、競爭店促銷、社群媒體上突然爆紅等等。

最小平方法（OLS, Ordinary Least Squares）能給出 $\beta$ 的不偏估計，有一個關鍵前提：解釋變數與誤差項不相關，也就是 $\text{Cov}(P_t, \varepsilon_t) = 0$。這個條件叫做外生性（exogeneity）。

問題來了。價格是誰決定的？是店家。店家在決定價格時，會看到那些被我們塞進 $\varepsilon_t$ 的東西——他知道今天人潮洶湧，於是漲價。這意味著當 $\varepsilon_t$ 偏高（需求旺）時，$P_t$ 也偏高。於是：

$$ \text{Cov}(P_t, \varepsilon_t) \neq 0 $$

這就是內生性（endogeneity）。一旦解釋變數與誤差相關，OLS 估出來的 $\hat{\beta}$ 就會有偏誤（bias），而且這個偏誤不會因為樣本變大而消失（這叫不一致性，inconsistency）。樣本越多，你只是越來越精確地估到一個錯的數字。

內生性的三大來源值得記住：

1. 同時性（simultaneity）：價格決定銷量，銷量也回頭決定價格（供需同時成立），這正是手搖飲的例子。
2. 遺漏變數（omitted variable）：有個同時影響 $P$ 和 $Q$ 的因素沒被控制（例如「氣溫」同時推高成本與需求）。
3. 測量誤差（measurement error）：$P$ 本身量測有雜訊，會使係數被往零稀釋（attenuation bias）。

入門篇的迴歸線之所以「看起來合理」，往往只是因為手搖飲這個例子裡需求波動沒蓋過供給波動。換一個資料集，同樣的天真迴歸就可能給你向上傾斜的「需求曲線」。

工具變數：找一根只動供給、不碰需求的槓桿

要把需求曲線從供需糾纏中分離出來，計量經濟學最經典的武器是工具變數（IV, Instrumental Variable）。

直覺是這樣：我們需要一個變數 $Z$，它能讓價格動，但只能透過供給端讓價格動，而不直接影響需求。如果價格的變動「只是因為成本變了」，那麼此時觀察到的銷量變化，就純粹是需求曲線上的移動——我們終於沿著需求曲線在滑動，而不是在交點之間跳。

一個好的工具變數要滿足兩個條件：

• 相關性（relevance）：$\text{Cov}(Z, P) \neq 0$，工具要真的能推動價格。
• 外生性 / 排除限制（exclusion restriction）：$\text{Cov}(Z, \varepsilon) = 0$，工具除了透過價格之外，沒有別的管道影響銷量。

對手搖飲來說，珍珠（樹薯澱粉）的國際批發價可能就是不錯的工具：它推高店家成本進而推高售價（滿足相關性），但消費者通常不知道、也不在意原料批發價，它不會直接改變人們今天想不想喝飲料（滿足排除限制）。

看一個例子：兩階段最小平方法（2SLS）怎麼運作

最常用的 IV 估計法是兩階段最小平方法（2SLS, Two-Stage Least Squares）。

第一階段：把內生的價格對工具迴歸，取出「由工具解釋的那部分價格」：

$$ P_t = \pi_0 + \pi_1 Z_t + u_t \quad\Rightarrow\quad \hat{P}_t = \hat{\pi}_0 + \hat{\pi}_1 Z_t $$

這個 $\hat{P}_t$ 是「乾淨的價格變異」——它的變動全部來自成本（工具），與需求衝擊 $\varepsilon_t$ 無關。

第二階段：用這個乾淨的 $\hat{P}_t$ 取代原始價格，再跑一次迴歸：

$$ Q_t = \alpha + \beta \hat{P}_t + \text{error} $$

此時的 $\hat{\beta}_{2SLS}$ 才是一致的需求斜率估計。

放個數字感受一下。假設原始 OLS 估出 $\hat{\beta}_{OLS} = -0.3$（每漲 1 元，少賣 0.3 杯），但因為同時性偏誤，這個數字被「需求旺→漲價」的正向關聯往上拉了，低估了需求的敏感度。用珍珠批發價當工具的 2SLS 估出 $\hat{\beta}_{2SLS} = -1.2$——真實的需求其實敏感得多。換成彈性語言：原本看起來「缺乏彈性」的飲料，其實價格彈性遠大於 1。對店家的訂價決策，這是天差地別的結論。

警告：弱工具（weak instrument）問題。 如果工具與價格的相關性很弱（第一階段的 $\hat{\pi}_1$ 接近 0），2SLS 不但變得非常不精確，偏誤甚至可能比 OLS 還嚴重。經驗法則：第一階段迴歸的 F 統計量要大於 10（Staiger–Stock 1997 的著名門檻），否則你的工具不值得信任。

自然實驗：當資料自己幫你「隨機分組」

IV 是一種思路；近三十年「可信度革命（credibility revolution）」帶來更廣的視角——尋找自然實驗（natural experiment），讓現實世界替我們製造近似隨機的處理。其中最常用的兩把刀是 DID 與 RDD。

雙重差分（DID, Difference-in-Differences）

假設某縣市突然對含糖飲料課徵「糖稅」，使售價上升，鄰縣沒有。我們想知道糖稅對銷量的影響，但不能只看課稅縣稅前 vs 稅後的差（因為季節、景氣也在變）。

DID 的做法是「差兩次」：

$$ \hat{\delta}_{DID} = \underbrace{(Q^{\text{課稅}}_{\text{後}} - Q^{\text{課稅}}_{\text{前}})}_{\text{含季節+政策}} - \underbrace{(Q^{\text{對照}}_{\text{後}} - Q^{\text{對照}}_{\text{前}})}_{\text{只含季節}} $$

第一個括號是課稅縣的變化（混了政策效果與共同趨勢），第二個括號是沒課稅的對照縣的變化（純粹是共同趨勢）。兩者相減，共同趨勢被消掉，剩下的就是政策的淨效果。

DID 的命脈是平行趨勢假設（parallel trends）：若沒有糖稅，兩縣的銷量本來應該以相同步調變動。這個假設無法直接驗證（因為「沒課稅的反事實」看不到），但我們可以檢查課稅前兩縣趨勢是否平行來增加說服力。

斷點迴歸（RDD, Regression Discontinuity Design）

當「處理」由一條明確的門檻決定時，RDD 特別有力。例如，某補助方案規定「家庭年收入低於 60 萬」才能領取育兒券。剛好 59.9 萬與 60.1 萬的兩個家庭，幾乎一模一樣，唯一差別是一個有券、一個沒有——這個門檻附近，等於老天爺幫你做了隨機分派。

於是我們比較門檻兩側「緊鄰」的家庭，估計補助的因果效果：

$$ \hat{\tau}_{RDD} = \lim_{x \downarrow c} \mathbb{E}[Y \mid X = x] - \lim_{x \uparrow c} \mathbb{E}[Y \mid X = x] $$

其中 $X$ 是收入（running variable）、$c = 60$ 萬是門檻、$Y$ 是結果（如就業率）。圖形上，你會看到結果變數在門檻處出現一個跳躍（jump），跳躍的高度就是因果效果。RDD 的隱憂是有人會「操弄」running variable（例如刻意把收入報成 59.9 萬），這會破壞門檻附近的隨機性，可用 McCrary 密度檢定來偵測。

別忘了標準誤：點估計只是故事的一半

很多人盯著 $\hat{\beta}$ 的數字，卻忽略它的不確定性。同一個 $\hat{\beta} = -1.2$，標準誤是 $0.1$ 還是 $0.9$，意義完全不同。

時間序列與面板資料常違反 OLS 標準誤的兩個假設：

• 異質變異（heteroskedasticity）：誤差的變異不固定（旺季雜訊大、淡季雜訊小）。
• 序列相關 / 群聚（autocorrelation / clustering）：今天的需求衝擊與昨天相關；同一家店不同日子的觀測也彼此相關。

若忽略這些，傳統標準誤會被嚴重低估，讓你誤以為結果「高度顯著」。解法是使用穩健標準誤（robust / heteroskedasticity-consistent SE），面板資料則用群聚標準誤（clustered SE），按店家或地區分群。一個好習慣：報告係數時，永遠附上它是用哪種標準誤算的。

重點回顧

• 內生性是迴歸最危險的敵人：當解釋變數與誤差相關（$\text{Cov}(P,\varepsilon)\neq 0$），OLS 估計有偏且不一致，樣本變大也救不了。
• 入門篇的天真迴歸常估到的不是需求曲線，而是供需交點的軌跡——這是同時性偏誤的經典範例。
• 工具變數（IV）+ 2SLS 透過一個「只動供給、不碰需求」的外生變數，把乾淨的價格變異分離出來；但要小心弱工具（第一階段 F < 10 就別用）。
• DID 靠平行趨勢消掉共同趨勢，RDD 靠門檻附近的近似隨機分派——兩者都是自然實驗思維的代表。
• 點估計之外，標準誤的選擇（穩健、群聚）決定了你的信賴區間是否誠實，別只看係數不看不確定性。

深入探討（研究所視角）

LATE 而非 ATE：IV 估的到底是誰的效果？ Imbens 與 Angrist（1994）證明，在處理效果異質（不同人反應不同）的情況下，IV / 2SLS 估到的不是平均處理效果（ATE, Average Treatment Effect），而是局部平均處理效果（LATE, Local Average Treatment Effect）——亦即「順從者（compliers）」這群人的效果，也就是那些「因為工具改變而真的改變了行為」的個體。在四種人（always-takers、never-takers、compliers、defiers）的框架下，LATE 依賴單調性假設（monotonicity）：工具的推力對每個人方向一致，不存在「反其道而行」的 defiers。這解釋了為什麼用「珍珠批發價」當工具估出的彈性，嚴格說是「對成本敏感而調價的那些店、那些消費情境」的彈性，外推到其他族群要謹慎。

結構式 vs. 縮減式之爭。 上面 IV/DID/RDD 都屬於「縮減式（reduced-form）」或「設計導向（design-based）」陣營，強調可信的識別策略。另一條路線是結構估計（structural estimation）：直接寫下消費者效用最大化與廠商利潤最大化的方程，估計深層的偏好參數（如 BLP 模型估計差異化商品的需求系統）。結構式的優勢是能做反事實政策模擬（counterfactual），例如「若課 20% 糖稅、廠商如何重新訂價、消費者福利損失多少」——這是純縮減式做不到的。代價是更強的函數形式假設。兩派的張力（Angrist–Pischke 對上 Heckman–Nevo）至今仍是計量經濟學方法論的核心辯論。

現代趨勢：機器學習進入因果推論。 當控制變數很多、函數形式未知時，Chernozhukov 等人（2018）的雙重 / 去偏機器學習（Double/Debiased Machine Learning, DML）用機器學習估計干擾參數（nuisance parameters），再透過 Neyman 正交化（orthogonalization）與樣本分割（cross-fitting）還原出有效的因果估計與正確的標準誤。與此並行的是 staggered DID 的新進展：Goodman-Bacon（2021）揭示傳統 two-way fixed effects 在「不同單位於不同時點受處理」時，會用到「已處理組當對照組」這種有問題的比較，催生了 Callaway–Sant'Anna 等新估計量。這些都是當代頂尖期刊（如 Econometrica、AER）的活躍前沿，也是把「漲價之後人們真的買得比較少嗎」這個樸素問題，一路推到可信因果推論最前線的縮影。