失業（進階）：流量視角、DMP 搜尋媒合與 Shimer 之謎

失業率為什麼會「黏」在某個水準？流量的視角

入門篇把失業（unemployment）拆成摩擦性、結構性、循環性三種類型，也介紹了自然失業率與工資僵固性。那是一張「存量快照」（stock snapshot）：某個時點上有多少人失業。但如果你盯著任何一個經濟體的月度資料看久了，會發現一個更深的謎題——失業率像被某種力量「黏」住，在景氣循環中緩慢漂移，卻又很少瞬間崩跌或暴衝。

要理解這種黏性，光看存量是不夠的。一個關鍵的觀念轉換是：失業是一個池子，水位由「進水」與「出水」兩股流量（flows）共同決定。 每個月都有人失去工作（進水），也有人找到工作（出水）。即使失業這個池子的水位（失業率）看起來穩定，底下其實有龐大的人流不斷進出。美國的資料顯示，每個月約有數百萬人在「就業」與「失業」之間切換——存量的平靜，掩蓋了流量的洶湧。

這篇進階篇要做的，就是把入門篇略過的「機制引擎」打開：用流量方程式重新定義失業，推導 DMP 搜尋媒合模型的均衡，並直面一個讓總體經濟學家頭痛多年的實證難題。

把失業寫成一條流量方程式

我們先建立最基本的勞動市場流量模型。把勞動力簡化為兩種狀態：就業（employed, $E$）與失業（unemployed, $U$），勞動力 $L = E + U$。定義兩個核心比率：

• 離職率／分離率（separation rate）$s$：每單位時間內，一個就業者失去工作的機率；
• 求職成功率／媒合率（job-finding rate）$f$：每單位時間內，一個失業者找到工作的機率。

在連續時間下，失業池的水位變化量等於「進水」減「出水」：

$$ \frac{dU}{dt} = \underbrace{s \cdot E}_{\text{新增失業}} - \underbrace{f \cdot U}_{\text{脫離失業}} $$

當系統達到穩態（steady state）時，水位不再變化，$dU/dt = 0$，於是 $s \cdot E = f \cdot U$。把 $E = L - U$ 代入並整理，可得穩態失業率：

$$ u^* = \frac{U}{L} = \frac{s}{s + f} $$

這條簡潔的公式威力驚人。它告訴我們：失業率不是由「失業有多嚴重」單獨決定，而是由分離率與求職率的相對大小決定。 失業率高，可能是因為人們容易丟工作（$s$ 大），也可能是因為丟了工作後很難找回來（$f$ 小）。這兩種情境對應截然不同的政策。

看一個例子：同樣的失業率，兩種完全不同的病

假設甲、乙兩國失業率都是 $5\%$，乍看之下勞動市場狀況相同。但拆開流量：

• 甲國：分離率 $s = 0.005$（每月只有千分之五的人丟工作），求職率 $f = 0.095$。代入 $u^* = 0.005 / (0.005 + 0.095) = 0.05$。
• 乙國：分離率 $s = 0.025$，求職率 $f = 0.475$。代入 $u^* = 0.025 / (0.025 + 0.475) = 0.05$。

兩國失業率都是 $5\%$，但乙國的兩個流量率都是甲國的五倍。這意味著乙國的勞動市場「流動性」極高：工作換得勤、丟得快、也找得快，平均失業時間短。甲國則相反，工作穩定但一旦失業就難以脫身，失業會集中在少數人身上、持續很久。

這正是歐洲與美國勞動市場長年差異的縮影。歐洲（尤其是 1980 年代後）的特徵是低流量、長期失業：分離率不高，但失業者的求職率偏低，失業久滯（這與較嚴格的解僱保護、較慷慨的失業給付有關）。美國則是高流量、短期失業：丟工作機率高，但找回工作也快。

政策啟示：對甲國（歐洲型），降低失業要從提升 $f$ 下手——改善媒合效率、再培訓、降低求職摩擦；對乙國（美國型）若想降低失業波動，反而要關注 $s$ 的循環性飆升。同一個失業率數字，背後是兩種不同的病，需要不同的藥。

DMP 模型：把摩擦寫成均衡

入門篇提到 DMP 模型（Diamond–Mortensen–Pissarides）與媒合函數 $M = m(U, V)$ 得到了 2010 年諾貝爾獎。這裡我們把這個模型的引擎拆開，看它如何把「摩擦性失業」從一句描述，變成一個可以求解的均衡。

媒合函數與市場緊俏度

設媒合函數 $M = m(U, V)$，其中 $V$ 是職缺數（vacancies）。假設它規模報酬不變（constant returns to scale），這是一個關鍵且有實證支持的假設。定義勞動市場緊俏度（labor market tightness）：

$$ \theta = \frac{V}{U} $$

$\theta$ 衡量「每位失業者面對多少職缺」。$\theta$ 越高，代表市場越偏向求職者（缺工）。由規模報酬不變，可把求職率與職缺填補率都寫成 $\theta$ 的函數：

• 失業者的求職率：$f(\theta) = m(U,V)/U = m(1, \theta) \equiv q(\theta)\,\theta$，且 $f'(\theta) > 0$（市場越緊，越快找到工作）；
• 職缺的填補率：$q(\theta) = m(U,V)/V = m(1/\theta, 1)$，且 $q'(\theta) < 0$（市場越緊，職缺越難填）。

這裡出現一個重要的搜尋外部性（search externality）：當更多廠商開職缺（$\theta$ 上升），失業者更容易找到工作（對失業者是正外部性），但每個職缺卻更難填補、互相排擠（對其他廠商是負外部性）。市場參與者各自只看自己的利益，未必能達到社會最適。

職缺創造條件：廠商何時願意開缺

廠商開一個職缺要付出搜尋成本 $c$（每單位時間），開缺後以機率 $q(\theta)$ 填補。一旦媒合成功，這份工作每期帶來的剩餘（產出 $p$ 減去工資 $w$）會持續，直到以機率 $s$ 被打散。

用貝爾曼方程（Bellman equation）描述廠商持有「空缺職位」的價值 $J_V$ 與「已填補職位」的價值 $J_F$。在自由進入（free entry）的均衡下，廠商會持續開缺直到開缺的淨值為零，即 $J_V = 0$。經過推導，可得到簡潔的職缺創造條件（job creation condition）：

$$ \frac{c}{q(\theta)} = \frac{p - w}{r + s} $$

左邊 $c/q(\theta)$ 是「填滿一個職缺的預期搜尋成本」（每期成本 $c$ 乘以平均等待時間 $1/q(\theta)$）。右邊是「一份工作帶來的折現後剩餘」——分子是每期利潤 $p - w$，分母 $r + s$ 是有效折現率（利率 $r$ 加上工作被打散的風險 $s$）。這個等式的直覺是：廠商開缺直到「找人的邊際成本」等於「找到人後的預期收益」。

Nash 議價：工資如何決定

職缺創造條件裡的工資 $w$ 從哪來？DMP 模型不假設工資由競爭市場決定（因為有摩擦，媒合成功的雙方之間存在一塊「剩餘」可以分配），而是用Nash 議價（Nash bargaining）來分剩餘。設勞工的議價力為 $\beta \in (0,1)$，工資 $w$ 由下式決定，讓勞工分得總媒合剩餘的 $\beta$ 比例：

$$ w = \beta (p + c\,\theta) + (1 - \beta)\, z $$

其中 $z$ 是失業者的「外部選項」（unemployment value，包含失業給付與閒暇價值）。直覺上，工資是勞工外部選項 $z$ 與廠商生產力 $p$ 之間的加權平均，權重由議價力 $\beta$ 決定；當市場越緊（$\theta$ 高），勞工外部機會越好，工資也越高。

把這條工資方程式代回職缺創造條件，就得到一條只含 $\theta$ 的方程，可解出均衡的市場緊俏度 $\theta^*$。有了 $\theta^*$，便能算出均衡求職率 $f(\theta^*)$，再代入前一節的穩態公式 $u^* = s/(s + f(\theta^*))$，就得到內生決定的均衡失業率。摩擦性失業，至此成為一個完整模型的均衡輸出，而不只是一個分類標籤。

動手試試：當失業給付提高，均衡失業率往哪走？

請用上面的模型推理鏈，自己走一遍因果，再對照答案。

問題：政府提高失業給付，使失業者的外部選項 $z$ 上升。均衡失業率會如何變化？

推理：

1. $z$ 上升 → 由工資方程式 $w = \beta(p + c\theta) + (1-\beta)z$，工資 $w$ 上升。
2. $w$ 上升 → 由職缺創造條件 $c/q(\theta) = (p-w)/(r+s)$，右邊的工作剩餘 $p - w$ 下降，廠商開缺的誘因減弱。
3. 廠商減少開缺 → $\theta = V/U$ 下降 → 求職率 $f(\theta)$ 下降。
4. 由 $u^* = s/(s+f)$，$f$ 下降 → 均衡失業率 $u^*$ 上升。

結論：在這個機制下，更慷慨的失業給付會透過「推高工資、壓低職缺、降低求職率」這條鏈，提高均衡失業率。但請注意，這只是模型的一個面向——慷慨的給付同時也讓失業者有餘裕找到更匹配的工作（提升媒合品質），並在衰退期支撐總需求。政策評估必須權衡這些力量，不能只看單一機制。這也是為什麼經濟學家對「最適失業給付」始終存在嚴肅辯論。

Shimer 之謎：漂亮的模型，對不上的資料

DMP 模型優雅、可解、得了諾貝爾獎，但它在 2005 年遭遇一個著名的實證挑戰，史稱 Shimer 之謎（Shimer puzzle）。

Robert Shimer 拿標準校準的 DMP 模型去模擬：當生產力 $p$ 發生與資料相符的小幅波動時，模型預測的失業率與職缺數波動有多大？結果發現，模型產生的波動遠小於實際資料——大約只有資料的十分之一。換句話說，現實中失業與職缺隨景氣的劇烈起伏，標準 DMP 模型解釋不了。

問題的根源在 Nash 議價。當生產力 $p$ 上升時，工資 $w$ 也跟著等比例上升（因為工資是 $p$ 的加權平均），於是工作剩餘 $p - w$ 幾乎不變，廠商開缺的誘因也幾乎不變——職缺與失業因此紋風不動。工資太有彈性，把所有生產力衝擊都「吸收」掉了。

學界提出了幾條主要的修補方向：

• 工資僵固性（wage rigidity）：Hall（2005）主張若工資對生產力衝擊反應遲鈍（黏性工資），則 $p$ 上升時 $p - w$ 會明顯放大，職缺反應就會被放大。這呼應了入門篇的工資僵固性，但這裡是用它來解釋「波動的放大」，而非單純的失業存在。
• 小剩餘校準（small surplus calibration）：Hagedorn 與 Manovskii（2008）指出，若把失業者外部選項 $z$ 設得接近生產力 $p$（即工作剩餘 $p - z$ 很小），則生產力的小變動會對「剩餘」造成巨大的百分比變化，放大職缺反應。
• 沿用既有匹配的工資僵固（rigidity in new matches）：區分新舊工作的工資調整速度。

Shimer 之謎的意義超越技術細節：它示範了一個內部邏輯自洽、能得諾貝爾獎的模型，仍可能在量化上對不上真實世界。好的理論不只要能講故事，還要能在數字上對帳。這正是現代總體經濟學從「定性敘事」走向「定量校準與檢驗」的縮影。

重點回顧

• 存量看水位，流量看引擎：失業率穩態為 $u^* = s/(s+f)$，由分離率 $s$ 與求職率 $f$ 共同決定，而非由「失業嚴重程度」單獨決定。
• 同樣的失業率可能是兩種病：低流量／長期失業（歐洲型，問題在 $f$ 太低）與高流量／短期失業（美國型，波動在 $s$）需要不同政策。
• DMP 模型把摩擦寫成均衡：媒合函數 + 職缺創造條件 + Nash 議價，三者聯立解出內生的市場緊俏度 $\theta^*$ 與均衡失業率。
• 搜尋外部性無所不在：廠商開缺對失業者是正外部性、對其他廠商是負外部性，市場均衡未必社會最適。
• Shimer 之謎是一記警鐘：標準 DMP 模型量化上低估了失業波動，工資的議價彈性是元兇；理論不只要自洽，還要對得上資料。

深入探討（研究所視角）

進到研究所層次，搜尋摩擦的勞動市場理論會與效率分析、最適政策與一般均衡建模交織，以下提供幾條值得深挖的線索。

Hosios 條件與社會效率。 既然搜尋外部性使市場均衡未必有效率，那什麼時候才有效率？Hosios（1990）給出了一個漂亮的答案：當勞工的議價力 $\beta$ 恰好等於媒合函數對失業的彈性 $\eta = -\frac{U}{m}\frac{\partial m}{\partial U}$ 時，正負外部性恰好抵銷，分散式均衡達到社會最適。

$$ \beta = \eta \quad\Longrightarrow\quad \text{均衡有效率（Hosios condition）} $$

當 $\beta > \eta$，勞工議價力過強、廠商開缺不足，失業偏高；當 $\beta < \eta$，則職缺過多。Hosios 條件把「外部性是否內部化」化約成一個可檢驗的參數關係，是搜尋理論最優美的結果之一，也是評估失業政策（如失業給付、聘僱補貼）是否改善效率的基準。

內生分離與工作摧毀。 標準 DMP 常把分離率 $s$ 視為外生常數，但 Mortensen 與 Pissarides（1994）進一步將 $s$ 內生化：每個工作的特定生產力會隨機波動，當它跌破一個「保留生產力」門檻 $\tilde{p}$ 時，雙方協議結束這份工作。於是分離也成為均衡選擇。這讓模型能同時解釋工作創造（job creation）與工作摧毀（job destruction）兩條流量，並對應到 Davis、Haltiwanger 與 Schuh 的著名實證——衰退期失業飆升，主要來自工作摧毀的劇烈跳升，而非工作創造的崩跌。

遲滯與多重均衡的再思考。 入門篇談過遲滯效應（hysteresis）。在搜尋架構下，遲滯可被建模為狀態依賴的求職率：長期失業者因技能折舊與雇主篩選（employer screening，雇主以失業時長作為負面信號）而面臨更低的 $f$，形成「失業越久越難脫身」的負向回饋（duration dependence）。這條機制把「暫時的循環性失業固化為結構性失業」給出了微觀基礎，也支持衰退期積極干預（避免長期失業累積）的政策論證。實證上要區分「真正的負向狀態依賴」與「異質性篩選」（找得到工作的人本來就先離開、留下的人本來就難媒合）是一大難題，需要動態追蹤資料與結構估計。

跨領域連結。 這套流量—搜尋框架的影響力遠超勞動市場：貨幣搜尋理論（Kiyotaki–Wright）用同樣的媒合邏輯解釋貨幣為何被接受；住房市場、婚配市場、線上平台媒合都借用了媒合函數。對教育與科技政策而言，搜尋摩擦的視角提醒我們：當生成式 AI 同時改變「工作摧毀」（自動化淘汰舊職位）與「媒合效率」（AI 求職／徵才工具改變 $f$）兩端，自然失業率與貝弗里奇曲線的位置都可能位移。理解失業的流量引擎，正是判讀這場技術變遷將如何重塑勞動市場的必備工具——而終身學習與技能再造，本質上就是在對抗負向的 duration dependence，避免暫時的衝擊在個人身上固化為永久的傷痕。