旋轉、簡單結構與多分相關：因素分析為何解不唯一

當兩位研究者用同一份資料，卻萃取出完全不同的因素時

你已經知道因素分析（Factor Analysis）能把一堆題目縮成少數潛在構念（latent construct），也大致理解主成分分析（PCA）和共同因素模型（common factor model）的差別。但這裡有個讓許多研究生卡住的真實情境：兩個人拿同一份問卷資料跑探索性因素分析（Exploratory Factor Analysis, EFA），一個說「這是三因素結構」，另一個說「明明是四因素，而且第二個因素該轉軸成斜交（oblique）」，最後兩人的因素負荷矩陣（factor loading matrix）長得天差地遠——卻都通過了統計檢定。

這不是有人算錯，而是因素分析在萃取數目（number of factors）與轉軸（rotation）這兩個環節上存在「旋轉不確定性（rotational indeterminacy）」。入門篇告訴你「因素分析在做什麼」，這篇進階文章要回答的是：為什麼解不唯一？我們憑什麼選定一個解？以及當題目是李克特（Likert）類別資料時，皮爾森相關（Pearson correlation）為什麼會騙你？

旋轉不確定性：解為何天生不唯一

共同因素模型把觀察變項的相關矩陣 $\mathbf{R}$ 拆解為：

$$ \mathbf{R} = \mathbf{\Lambda}\mathbf{\Phi}\mathbf{\Lambda}^{\top} + \mathbf{\Psi} $$

其中 $\mathbf{\Lambda}$ 是 $p \times m$ 的因素負荷矩陣（$p$ 個題目、$m$ 個因素），$\mathbf{\Phi}$ 是因素之間的相關矩陣，$\mathbf{\Psi}$ 是對角的唯一性（uniqueness）矩陣。

關鍵問題在於：對任何一個 $m \times m$ 的可逆矩陣 $\mathbf{T}$，我們都可以寫出

$$ \mathbf{\Lambda}\mathbf{\Phi}\mathbf{\Lambda}^{\top} = (\mathbf{\Lambda}\mathbf{T})(\mathbf{T}^{-1}\mathbf{\Phi}\mathbf{T}^{-\top})(\mathbf{T}^{\top}\mathbf{\Lambda}^{\top}). $$

也就是說，把負荷矩陣換成 $\mathbf{\Lambda}\mathbf{T}$、把因素相關換成對應的形式，重建出來的 $\mathbf{R}$ 完全一樣。資料無法區分這無窮多組解，這就是旋轉不確定性。當 $\mathbf{T}$ 是正交矩陣（$\mathbf{T}^{\top}\mathbf{T}=\mathbf{I}$）時，因素之間維持正交（orthogonal），稱為正交轉軸；當 $\mathbf{T}$ 不要求正交時，允許因素相關，稱為斜交轉軸（oblique rotation）。

換句話說，萃取（extraction）決定的是「因素張開的子空間」，而轉軸決定的是「在這個子空間裡選哪一組座標軸」。統計上這些解的配適度（fit）完全相同——選哪一個，靠的是可解釋性這個外部準則，而不是配適度本身。

簡單結構：用什麼準則挑座標軸

既然數學上解不唯一，Thurstone 提出「簡單結構（simple structure）」作為挑選原則：好的轉軸應該讓每個題目只在少數因素上有高負荷、在其餘因素上接近零。這讓因素容易命名與詮釋。

現代轉軸法把「簡單結構」操作化為一個可最小化的複雜度準則。以 Varimax（正交轉軸的主流）為例，它最大化各因素內負荷平方的變異數：

$$ V = \sum_{j=1}^{m}\left[\frac{1}{p}\sum_{i=1}^{p}\lambda_{ij}^{4} - \left(\frac{1}{p}\sum_{i=1}^{p}\lambda_{ij}^{2}\right)^{2}\right]. $$

直覺上，最大化平方負荷的變異數，等於把負荷往「很大」或「很小」兩端推，避免中間模糊地帶。斜交轉軸常用的 Oblimin、Promax 則進一步放開因素正交的限制——因為在心理與教育構念裡，潛在因素本來就常彼此相關（例如「數學焦慮」與「考試焦慮」）。

該選正交還是斜交？ 一個務實的準則是：先跑斜交，檢查因素相關矩陣 $\mathbf{\Phi}$。若因素間相關普遍低於約 $0.2$，正交解幾乎一樣、且更簡潔；若相關明顯（$>0.3$），硬套正交會把真實的因素重疊「藏」進負荷裡，造成詮釋失真。斜交解要分清楚兩個矩陣：樣式矩陣（pattern matrix）是控制其他因素後的偏迴歸係數，用來命名因素；結構矩陣（structure matrix）是題目與因素的相關。兩者在斜交下不相等，報告負荷時務必註明用的是哪一個。

該萃取幾個因素：別只信 Kaiger 法則

入門篇大概提過「特徵值大於 1（Kaiser-Guttman 準則）」與陡坡圖（scree plot）。進階地說，這兩者都不可靠：Kaiser 法則在題目多時嚴重高估因素數，陡坡圖的「拐點」判讀又太主觀。現在方法學上的共識是改用平行分析（parallel analysis）。

平行分析的邏輯很乾淨：產生許多份與你資料「同樣大小、但變項間完全隨機無關」的模擬資料，計算它們相關矩陣的特徵值分布。只有當你真實資料的第 $k$ 個特徵值，超過隨機資料第 $k$ 個特徵值的第 95 百分位數時，才保留第 $k$ 個因素。這等於問：「這個維度解釋的變異，是否顯著超過純抽樣雜訊能製造出來的？」

更嚴謹的場景下，會搭配 EFA 的配適指標（如 RMSEA、TLI）與後續可重複性，而不是把因素數交給單一規則決定。

動手算一下：旋轉如何重新分配負荷

假設兩個題目、兩個因素，未轉軸的負荷矩陣是

$$ \mathbf{\Lambda} = \begin{bmatrix} 0.80 & 0.40 \\ 0.40 & 0.80 \end{bmatrix}. $$

兩個題目都「橫跨」兩個因素，難以命名。我們套一個 $20^{\circ}$ 的正交旋轉，$\mathbf{T}=\begin{bmatrix}\cos20^{\circ} & -\sin20^{\circ}\\ \sin20^{\circ} & \cos20^{\circ}\end{bmatrix}\approx\begin{bmatrix}0.940 & -0.342\\ 0.342 & 0.940\end{bmatrix}$。

計算 $\mathbf{\Lambda}\mathbf{T}$：

• 題目 1：$(0.80\times0.940 + 0.40\times0.342,\; 0.80\times(-0.342)+0.40\times0.940) = (0.889,\; 0.102)$
• 題目 2：$(0.40\times0.940 + 0.80\times0.342,\; 0.40\times(-0.342)+0.80\times0.940) = (0.650,\; 0.615)$

題目 1 的負荷從 $(0.80, 0.40)$ 變成 $(0.889, 0.102)$——更乾淨地落在因素 1。注意兩件事：第一，共同性（communality）不變。題目 1 旋轉前 $0.80^2+0.40^2=0.80$，旋轉後 $0.889^2+0.102^2\approx0.80$，完全相同。旋轉只是「轉動座標軸」，不改變題目被解釋的總變異。第二，旋轉是全域操作——讓題目 1 變乾淨的同時，題目 2 反而更橫跨。真正的轉軸演算法（如 Varimax）會在所有題目間找一個讓整體最接近簡單結構的角度，而非只顧一題。

別用皮爾森相關跑李克特資料

這是教育與心理計量裡最常被忽略、卻最致命的一點。標準 EFA／PCA 吃的是皮爾森相關矩陣，而皮爾森相關假設變項是連續且雙變量常態的。但問卷題目幾乎都是 5 點或 7 點李克特類別資料——有序而非連續。

直接對李克特資料算皮爾森相關，會產生兩個假象：

1. 離散化衰減（attenuation）：把連續的潛在態度切成幾格，相關會被系統性低估，使共同性偏低、像是「有更多測量誤差」。
2. 難度因素（difficulty factor）：當題目的反應分布偏態方向不同（有的偏易、有的偏難），皮爾森相關會憑空生出一個其實只反映「分布形狀差異」的假因素。許多論文裡那個「莫名其妙的第二因素」，根源就在這。

正解是改用多分相關（polychoric correlation）：它假設每個有序題目背後有一個連續、常態的潛在反應變項 $y^{*}$，題目的類別只是 $y^{*}$ 跨過若干閾值（threshold）後的結果，再估計這些潛在變項兩兩之間的相關。把 EFA 建立在多分相關矩陣上，離散化衰減與難度因素大致就消失了。

看一個例子：多分相關救回真實結構

假設兩題的潛在態度本來相關 $\rho=0.60$。受試者填答時，潛在分數跨過閾值才會勾選較高選項。若你直接對勾選出來的 5 點分數算皮爾森相關，常會得到大約 $0.45 \sim 0.50$——被系統性低估。而多分相關會估回接近 $0.60$ 的值，因為它直接針對「潛在連續變項」建模，把離散化的影響還原回去。

實務啟示很直接：當你的 EFA 共同性偏低、或冒出一個難以命名的小因素時，先別急著刪題或加因素——先確認你用的是多分相關還是皮爾森相關。換對矩陣，問題往往自己消失。

重點回顧

• 旋轉不確定性是本質而非缺陷：對任意可逆矩陣 $\mathbf{T}$，$\mathbf{\Lambda}\mathbf{T}$ 重建出的相關矩陣相同，所以萃取只定出子空間，轉軸才定座標軸。
• 轉軸靠可解釋性挑解：Varimax（正交）最大化負荷平方的變異數以逼近簡單結構；因素間實際相關偏高時改用斜交（Oblimin / Promax），並分清樣式矩陣與結構矩陣。
• 萃取因素數要用平行分析，別只信特徵值大於 1 或主觀讀陡坡圖。
• 旋轉不改變共同性：它只重新分配負荷，題目被解釋的總變異固定。
• 李克特資料要用多分相關，否則離散化衰減與難度因素會誤導因素結構。

深入探討（研究所視角）

把上面的脈絡推到研究所程度，有三個值得追下去的方向。

第一，從 EFA 到驗證性因素分析（CFA）與 ESEM。 EFA 的旋轉不確定性，本質上是因為它對負荷矩陣不施加任何結構限制。驗證性因素分析（Confirmatory Factor Analysis, CFA）反過來：研究者事先指定哪些題目只負荷哪個因素（其餘固定為 0），這些限制讓模型可被識別（identified）、解唯一，並能用 $\chi^2$、RMSEA、CFI 等指標檢定。代價是 CFA 的「零負荷」假設往往太嚴苛——真實題目常有微小的交叉負荷（cross-loading），硬壓成 0 會讓因素相關被高估。探索性結構方程模型（Exploratory Structural Equation Modeling, ESEM）正是折衷：在 SEM 框架內保留 EFA 的轉軸彈性，允許交叉負荷自由估計，同時享有完整的配適檢定與標準誤。對量表發展的研究者，ESEM 已逐漸成為比「先 EFA 再 CFA」更受推薦的流程。

第二，類別資料的估計法。 在多分相關的基礎上做因素分析，通常不用一般最大概似（ML），而改用對角加權最小平方法（diagonally weighted least squares, WLSMV）。它把多分相關矩陣當作被配適的對象，並用其漸近共變異數矩陣（asymptotic covariance matrix）做加權與修正標準誤。值得理解的是，WLSMV 是有限資訊（limited-information）估計——它只用到兩兩邊際的二維列聯表，而非完整的高維反應組型機率。這在維度高時計算可行、且對閾值估計穩健，但代價是不像全資訊 ML 那樣使用所有資訊。這條線也直通項目反應理論（Item Response Theory, IRT）：單因素的有序 probit 因素模型，與 IRT 的分級反應模型（graded response model）在數學上等價，因素負荷 $\lambda$ 與 IRT 的鑑別度參數 $a$ 之間有 $a = \lambda/\sqrt{1-\lambda^2}$ 這類確定的換算關係。換句話說，「類別資料的因素分析」與「IRT」是同一座山的兩個登山口。

第三，因素分數的不確定性（factor score indeterminacy）。 即使你選定了負荷與轉軸，要把每個受試者的因素分數算出來，仍然不唯一。常見的迴歸法（Thomson / regression scores）與 Bartlett 法會給出不同的分數，且兩者都無法完美還原潛在因素——因為共同因素模型裡，觀察變項的數目永遠不足以唯一決定因素分數。這在拿因素分數去做後續迴歸或分組時尤其要小心：把帶有不確定性的因素分數當成「真實測得的變項」，會低估標準誤、膨脹顯著性。較嚴謹的做法是用 SEM 把測量模型與結構模型一起估計，讓潛在變項保持潛在，而不是先壓成一個點估計再丟進下一個分析。這也呼應一個更廣的統計素養：降維從來不是免費的——每一步把高維壓成低維，都在用「可解釋性」交換「資訊」與「確定性」，研究者的責任是把這筆交易講清楚。