存活分析：Kaplan–Meier、Cox 迴歸與設限資料

為什麼「平均存活時間」會騙了你

假設你是一所大學的學務分析人員，想知道學生入學後「多久會輟學」。你手上有一份追蹤五年的資料，但難題立刻浮現：許多學生到資料截止那天還在學，他們根本還沒輟學，你不知道他們最終會不會輟學、何時輟學。如果你只計算「已經輟學者的平均在學時間」，會嚴重低估真正的留存能力——因為那些表現最好、一直沒離開的學生，全被你排除在分母之外了。

這正是存活分析（survival analysis）要解決的核心問題：當我們關心的不是「事件會不會發生」，而是「事件何時發生」，而且有一部分樣本在觀測期間內事件尚未發生時，傳統的線性迴歸或邏輯斯迴歸都會失靈。本文將帶你建立存活分析的完整圖像：從設限資料的本質，到 Kaplan–Meier 估計、log-rank 檢定，再到 Cox 比例危險模型與其背後的偏概似估計理論。

設限：為什麼不能用一般迴歸

存活分析處理的應變數是到事件發生的時間（time-to-event），例如學生從入學到輟學的天數、病人從確診到復發的月數。這種資料有兩個讓一般迴歸無法處理的特性。

第一，時間恆為正且分布通常嚴重右偏，違反線性迴歸的常態與等變異假設。第二，也是最關鍵的——設限（censoring）。

所謂設限，是指我們只擁有事件時間的「部分資訊」。最常見的是右設限（right censoring）：在觀測結束時，某位學生仍在學，我們只知道他的真實輟學時間「大於」目前已觀測到的在學時間，但不知道確切值。其他形式還有左設限（事件在觀測開始前就已發生，只知時間小於某值）與區間設限（只知事件落在某段區間內）。

設限資料若被錯誤處理會造成系統性偏誤：

• 若把設限者直接當作「事件已發生」，會低估真實存活時間。
• 若直接刪除所有設限者，會丟掉大量資訊，且通常刪掉的正是存活最久的觀測，造成嚴重的選擇偏誤。

存活分析的精妙之處，在於它能同時利用「已發生事件」與「尚未發生事件」兩種觀測的資訊，讓設限者貢獻它所能提供的部分知識，而非全部丟棄。

兩個核心函數：S(t) 與 h(t)

要描述事件時間 $T$（一個非負隨機變數），我們用兩個互補的函數。

存活函數（survival function） 定義為個體存活超過時間 $t$ 的機率：

$$S(t) = P(T > t) = 1 - F(t)$$

其中 $F(t)$ 是累積分布函數。$S(t)$ 從 $S(0)=1$ 開始，隨時間單調遞減趨近於 0。在留存分析的語境裡，$S(t)$ 就是「入學後超過 $t$ 個學期仍在學的比例」。

危險函數（hazard function） 描述的是「在時間 $t$ 之前都尚未發生事件的條件下，恰好在 $t$ 這一瞬間發生事件的瞬時速率」：

$$h(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{P(t \le T < t + \Delta t \mid T \ge t)}{\Delta t}$$

危險函數刻畫的是「風險的即時強度」。例如學生輟學的危險率可能在第一學期最高、之後逐漸下降——這種「熬過第一年就穩定了」的型態，唯有危險函數能清楚呈現，存活曲線本身看不出來。

兩個函數之間有嚴格的數學關係。定義累積危險函數 $H(t)=\int_0^t h(u)\,du$，則：

$$S(t) = \exp\left(-\int_0^t h(u)\,du\right) = e^{-H(t)}$$

這個恆等式是整個存活分析的樞紐：知道危險函數就能還原存活函數，反之亦然。$h(t)$ 關注「機制」（風險如何隨時間變化），$S(t)$ 關注「結果」（最終還剩多少比例），兩者相輔相成。

Kaplan–Meier：在設限下估計存活曲線

當我們不想對 $S(t)$ 的形狀做任何分布假設時，Kaplan–Meier（KM）估計量是最常用的無母數方法。它的核心思想是把存活機率拆解成一連串「條件存活」的連乘。

設觀測到事件發生的相異時間點為 $t_1 < t_2 < \cdots < t_k$。在每個事件時間 $t_i$：

• $d_i$ ＝ 在 $t_i$ 發生事件（如輟學）的人數
• $n_i$ ＝ 在 $t_i$ 之前仍處於「風險集合（risk set）」的人數，也就是還沒發生事件、也還沒被設限離開的人數

則 Kaplan–Meier 估計量為：

$$\hat{S}(t) = \prod_{t_i \le t} \left(1 - \frac{d_i}{n_i}\right)$$

每個因子 $(1 - d_i/n_i)$ 是「已經活到 $t_i$ 的人，能再撐過 $t_i$ 的條件機率」。設限資料的處理就藏在 $n_i$ 裡：當某人在 $t_i$ 與 $t_{i+1}$ 之間被設限，他會在下一個事件時間前從風險集合中移除，因此他在被設限「之前」對所有因子都有貢獻，但在被設限「之後」不再影響估計。這正是讓設限者貢獻部分資訊的機制。

KM 曲線是一條階梯狀遞減曲線，只在事件時間點下降，設限只會縮小風險集合而不造成下降（圖上常以小刻度標記設限點）。曲線的變異可用 Greenwood 公式估計，據此畫出信賴帶。

帶數字的小範例：手算 Kaplan–Meier

假設追蹤 10 位學生的在學情況（單位：學期），「+」表示設限（資料截止時仍在學）：

2, 3, 3, 4+, 5, 6+, 7, 8+, 9, 10+

逐個事件時間計算：

時間 $t_i$	風險集合 $n_i$	事件數 $d_i$	$1 - d_i/n_i$	$\hat{S}(t_i)$
2	10	1	0.900	0.900
3	9	2	0.778	0.700
5	6	1	0.833	0.583
7	4	1	0.750	0.438
9	2	1	0.500	0.219

注意第 4 學期那位學生（4+）被設限，所以到 $t=5$ 時風險集合從 7 減為 6（少了 4+ 與已輟學的 3 人共 4 人，10−3−1=6）。最終 $\hat{S}(9) \approx 0.219$，意思是估計約有 21.9% 的學生能在學超過 9 個學期。

如果我們天真地只取「已輟學者」的平均在學時間 $(2+3+3+5+7+9)/6 \approx 4.83$ 學期，會嚴重低估留存能力，因為完全忽略了那 4 位仍在學、可能會撐更久的學生。

log-rank 檢定：比較兩條存活曲線

當我們想知道「兩組學生（例如有無參與輔導方案）的存活曲線是否有顯著差異」時，log-rank 檢定是標準工具。

它的邏輯是：在每一個事件時間點，把「實際觀測到的某組事件數」與「在兩組存活率相同的虛無假設下的期望事件數」相比。對每個事件時間 $t_i$，在虛無假設下第 1 組的期望事件數為：

$$e_{1i} = d_i \cdot \frac{n_{1i}}{n_i}$$

其中 $n_{1i}$ 是第 1 組在 $t_i$ 的風險人數。把所有時間點的「觀測減期望」加總，並除以其變異數，得到近似卡方分布的檢定統計量：

$$\chi^2 = \frac{\left(\sum_i (d_{1i} - e_{1i})\right)^2}{\sum_i v_i}$$

log-rank 檢定對「比例危險」型態的差異最敏感，且不需指定存活時間的分布。但它只能告訴你「有無差異」，無法量化差異大小，也無法調整其他共變數——這正是 Cox 模型登場的理由。

Cox 比例危險模型：把共變數放進來

我們通常不只想比較分組，還想知道「年齡、入學成績、是否打工」等多個變數如何共同影響危險率。Cox 比例危險模型（Cox proportional hazards model） 把危險函數寫成：

$$h(t \mid \mathbf{x}) = h_0(t) \exp(\beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \cdots + \beta_p x_p)$$

這裡 $h_0(t)$ 是基準危險函數（baseline hazard），代表所有共變數為 0 時的危險率隨時間的變化；指數部分則是共變數造成的「等比例放大或縮小」。

Cox 模型最迷人之處在於它是半母數（semiparametric）的：它完全不對 $h_0(t)$ 的形狀做任何假設（無母數部分），只假設共變數以對數線性的方式作用（母數部分）。這讓它在不知道事件時間真實分布時依然能穩健地估計共變數效果。

危險比 hazard ratio 的解讀

把係數取指數，得到危險比（hazard ratio, HR）。對某共變數 $x_j$，在其他變數固定時，$x_j$ 增加一單位會讓危險率乘上 $e^{\beta_j}$：

$$\text{HR}_j = e^{\beta_j} = \frac{h(t \mid x_j + 1)}{h(t \mid x_j)}$$

解讀方式：

• $\text{HR} = 1$：該變數對危險率無影響。
• $\text{HR} > 1$（$\beta_j > 0$）：增加事件風險，存活時間縮短。例如 HR ＝ 1.5 表示風險提高 50%。
• $\text{HR} < 1$（$\beta_j < 0$）：降低事件風險，具保護作用。例如某輔導方案的 HR ＝ 0.7，表示參與者的輟學瞬時風險只有未參與者的 70%。

關鍵在於：HR 是相對的、與時間無關的常數。Cox 模型假設兩組的危險比在任何時間點都維持固定，這就是「比例危險假設」。

比例危險假設：必須檢驗的前提

「比例危險（proportional hazards）」假設兩個個體的危險函數之比，不隨時間改變：

$$\frac{h(t \mid \mathbf{x}_a)}{h(t \mid \mathbf{x}_b)} = \exp\big(\boldsymbol{\beta}^\top (\mathbf{x}_a - \mathbf{x}_b)\big) \quad \text{（與 } t \text{ 無關）}$$

若這個假設不成立——例如某輔導方案在第一年大幅降低輟學風險，但效果隨時間消退——那麼用單一 HR 描述就會誤導。檢驗方法包括：

• 圖示法：畫 $\log(-\log \hat{S}(t))$ 對 $\log t$ 的曲線，各組曲線若大致平行則支持假設。
• Schoenfeld 殘差檢定：檢驗 Schoenfeld 殘差與時間是否存在趨勢；若殘差對時間有顯著斜率，表示違反假設。

若假設被違反，補救做法包括：加入時變共變數（讓效果隨時間改變）、分層 Cox 模型（對違反的變數分層、各層有自己的 $h_0(t)$），或改用加速失效時間模型（AFT）。

重點回顧

• 設限是核心問題：事件時間資料常有右設限（觀測結束時事件尚未發生），一般迴歸無法處理；存活分析能同時利用已發生與未發生兩種觀測的資訊。
• S(t) 與 h(t) 互補：存活函數描述「還剩多少」，危險函數描述「即時風險強度」，兩者透過 $S(t)=e^{-H(t)}$ 相互換算。
• Kaplan–Meier 是無母數的存活曲線估計，用條件存活率連乘，並透過風險集合自然處理設限。
• log-rank 檢定比較組間存活曲線差異（觀測對期望）；Cox 模型則進一步納入多個共變數，輸出與時間無關的危險比。
• 比例危險假設是 Cox 模型的關鍵前提，務必以 Schoenfeld 殘差或 log-log 圖檢驗，違反時改用時變共變數或分層模型。

深入探討（研究所視角）

偏概似：Cox 如何繞過基準危險

Cox 模型最深刻的創見，在於它能在完全不估計 $h_0(t)$ 的情況下估計 $\boldsymbol{\beta}$。這透過 偏概似（partial likelihood） 達成。

考慮在事件時間 $t_i$ 發生事件的個體 $(i)$。在「此時刻風險集合 $R(t_i)$ 中恰有一人發生事件」的條件下，事件「正好落在個體 $(i)$ 身上」的條件機率為：

$$L_i(\boldsymbol{\beta}) = \frac{\exp(\boldsymbol{\beta}^\top \mathbf{x}_{(i)})}{\sum_{j \in R(t_i)} \exp(\boldsymbol{\beta}^\top \mathbf{x}_j)}$$

注意分子分母的 $h_0(t_i)$ 完全約掉了——這正是奧妙所在。把所有事件時間的條件機率相乘，得到偏概似：

$$L(\boldsymbol{\beta}) = \prod_{i: \, \delta_i = 1} \frac{\exp(\boldsymbol{\beta}^\top \mathbf{x}_{(i)})}{\sum_{j \in R(t_i)} \exp(\boldsymbol{\beta}^\top \mathbf{x}_j)}$$

其中 $\delta_i=1$ 標記未設限的事件。最大化 $\log L(\boldsymbol{\beta})$ 可用 Newton–Raphson 求解；雖然只是「偏」概似，Cox（1972, 1975）與後續學者（如 Andersen–Gill 的計數過程鞅論）證明了所得估計量仍具有一致性與漸近常態性。值得注意的是，偏概似只用到事件的排序（ranking）而非確切時間值，這也解釋了為何 Cox 模型對時間軸的單調變換穩健。當多筆資料同時發生事件（ties），需用 Breslow、Efron 或精確法近似。$h_0(t)$ 若仍需估計，可在事後用 Breslow 估計量補上。

時變共變數：當風險因子會隨時間改變

基本 Cox 模型假設共變數在追蹤期間固定，但許多情況並非如此——學生的累積 GPA、是否轉換主修、是否中途開始打工，都會隨時間變動。時變共變數（time-varying covariates） 把模型推廣為：

$$h(t \mid \mathbf{x}(t)) = h_0(t) \exp\big(\boldsymbol{\beta}^\top \mathbf{x}(t)\big)$$

此時偏概似中個體 $j$ 在時間 $t_i$ 所用的是該時刻的共變數值 $\mathbf{x}_j(t_i)$。實作上常用「(start, stop] 計數過程格式」把每位個體切成多段時間區間。一個重要前提是區分外生（external）與內生（internal）時變共變數：內生共變數（如生物標記，本身會被事件過程影響）需謹慎處理，否則會引入偏誤。此外，把交互項 $x_j \cdot g(t)$（$g(t)$ 為時間的某函數）放入模型，本身就是「放寬比例危險假設」的標準手法。

競爭風險：當事件不只一種

標準存活分析隱含「只有一種事件、且設限與事件獨立」。但現實常見競爭風險（competing risks）：學生可能「輟學」、「轉學」或「休學」，這些是互斥的終點，一旦發生其中之一，其他事件便不再可能。若把「轉學」單純當成設限，會違反獨立設限假設並高估「輟學」的累積發生率。

正確做法是分析累積發生函數（cumulative incidence function, CIF），對事件類型 $k$ 定義為：

$$F_k(t) = P(T \le t, \, \text{event type} = k)$$

對應的建模工具有二：因果別危險（cause-specific hazard） 模型把其他競爭事件視為設限、各自配適 Cox 模型，回答「在尚未發生任何事件者中，某類事件的瞬時率」；Fine–Gray 部分分布危險（subdistribution hazard） 模型則直接對 CIF 建模，回答「某類事件的累積發生機率如何受共變數影響」。兩者解讀不同、不可混用：前者談機制（為何發生此類事件），後者談負擔（最終有多少比例會經歷此類事件）。在學生留存分析中，若同時關心輟學與轉學，競爭風險框架能避免把兩種離校原因混為一談。

與 Uedu 留存分析的連結

回到開頭的學生留存問題：傳統「是否輟學」的邏輯斯迴歸只能回答「會不會」，丟失了「何時」的全部資訊，也無法妥善處理仍在學的設限者。改用存活分析後，我們能畫出不同入學管道或不同輔導介入的 Kaplan–Meier 留存曲線、用 log-rank 檢定差異、再以 Cox 模型在控制背景變數後估計各因子的危險比；若關心多種離校型態，則進一步採競爭風險模型。

最後必須強調方法的限制與假設：所有結論都建立在「設限機制與事件獨立」「比例危險（若用 Cox）」等前提上，且 Cox 危險比是關聯性而非自動的因果效應；要做因果推論，仍需結合隨機分派、傾向分數或其他識別策略，並對未測量的干擾因子保持審慎。存活分析提供的是描述事件時序的強大語言，而非取代研究設計的萬靈丹。