二極體進階：Shockley 方程式、逆向恢復與整流電源的真實設計

為什麼整流橋的輸出總是「比理論值矮一截」？

你在入門篇學會了二極體是「電流的單行道」、橋式整流器能把交流變直流。但當你真正拿示波器去量一個 12 V 交流輸入、經過橋式整流再接電容濾波的電源時，會發現直流輸出既不是 $12\sqrt{2}\approx 17$ V，也不是課本畫的平滑直線，而是一條帶著鋸齒紋波、峰值還矮了一兩伏的曲線。那「矮掉的一截」去哪了？為什麼二極體不是理想開關？這篇進階篇要把入門篇刻意略過的三件事補齊：二極體的指數電流方程式、逆向恢復與切換損耗，以及整流濾波電路的紋波與穩態設計。

從理想開關到 Shockley 方程式

入門篇把二極體簡化成「順向導通、逆向截止」的理想開關，再進階一點是「導通要先跨過 0.7 V」的定電壓模型（constant-voltage-drop model）。這兩個模型在快速估算時很好用，但它們都隱藏了一個事實：二極體的電流與電壓之間是指數關係，而不是開關式的突變。

這個關係由 Shockley 二極體方程式描述：

$$I_D = I_S \left( e^{\frac{V_D}{n V_T}} - 1 \right)$$

其中各符號的物理意義值得逐一拆解：

• $I_S$ 是逆向飽和電流（reverse saturation current），數量級通常在 $10^{-12}$ 到 $10^{-9}$ A，由少數載子（minority carrier）的擴散決定，對溫度極度敏感。
• $V_T = \dfrac{kT}{q}$ 是熱電壓（thermal voltage）。在室溫 $T=300\,\text{K}$ 下，$V_T \approx 25.85\,\text{mV}$，常被取整為 26 mV。
• $n$ 是理想因子（ideality factor），介於 1 到 2 之間。$n=1$ 代表純擴散電流主導，$n=2$ 代表空乏區的復合（recombination）電流主導，真實矽二極體常落在 1 到 2 之間。
• $q$ 是基本電荷、$k$ 是波茲曼常數、$T$ 是絕對溫度。

這條方程式告訴我們一件入門篇學不到的事：「0.7 V 導通電壓」並不是一個物理常數，而是一個我們在特定電流下觀察到的工作點。 當電流改變一個數量級，順向電壓只變化約 $n V_T \ln 10 \approx 60n$ mV。換句話說，在 $n=1$ 時，電流每增加十倍，順向電壓只多約 60 mV。這也是為什麼你看到的「0.7 V」其實是個範圍——在 1 mA 時可能是 0.65 V，在 1 A 時可能逼近 0.85 V。

看一個例子：反推逆向飽和電流

假設某矽二極體在 $V_D = 0.65\,\text{V}$ 時量得 $I_D = 1\,\text{mA}$，理想因子 $n=1$，室溫 $V_T = 25.85\,\text{mV}$。求 $I_S$。

由於 $V_D \gg n V_T$，指數項遠大於 1，可忽略 $-1$：

$$I_D \approx I_S\, e^{\frac{V_D}{n V_T}}$$

$$I_S = I_D\, e^{-\frac{V_D}{n V_T}} = 10^{-3} \times e^{-\frac{0.65}{0.02585}}$$

先算指數：$\dfrac{0.65}{0.02585} \approx 25.15$，所以

$$I_S = 10^{-3} \times e^{-25.15} \approx 10^{-3} \times 1.2 \times 10^{-11} \approx 1.2 \times 10^{-14}\,\text{A}$$

這個結果（約 12 fA）落在矽二極體的典型範圍內。有了 $I_S$，我們就能反推任意電流下的順向電壓。例如要讓 $I_D = 1\,\text{A}$：

$$V_D = n V_T \ln\!\left(\frac{I_D}{I_S}\right) = 0.02585 \times \ln\!\left(\frac{1}{1.2 \times 10^{-14}}\right) \approx 0.02585 \times 32.0 \approx 0.827\,\text{V}$$

從 1 mA 到 1 A（增加 1000 倍，即 3 個數量級），順向電壓只從 0.65 V 升到 0.83 V，符合「每數量級約 60 mV」的規律：$3 \times 60\,\text{mV} = 180\,\text{mV}$。

溫度：二極體最被低估的變數

Shockley 方程式裡有兩個溫度相關項：$V_T$ 與 $I_S$。兩者作用方向相反，但 $I_S$ 的影響壓倒性地大。

$I_S$ 大約每升高 10 °C 就翻一倍（與半導體的本徵載子濃度 $n_i^2 \propto T^3 e^{-E_g/kT}$ 強相關）。這個指數增長使得在固定順向電流下，二極體的順向電壓會隨溫度上升而下降，溫度係數約為：

$$\frac{dV_D}{dT} \approx -2\,\text{mV/°C}$$

這個負溫度係數有兩面意義。一方面，它讓二極體可以當溫度感測器（很多晶片內建的溫感就是利用 PN 接面的這個特性）。另一方面，在功率整流場合它會帶來熱失控（thermal runaway）的隱憂：溫度上升 → $V_D$ 下降 → 同樣電壓下電流變大 → 功耗增加 → 溫度再上升。設計散熱時必須留足裕度。

逆向漏電流同樣隨溫度劇增，這是為什麼資料手冊（datasheet）會標明「$I_R$ at 25 °C」與「$I_R$ at 100 °C」兩個天差地別的數字——後者往往是前者的數十倍。

逆向恢復：二極體「關不掉」的瞬間

入門篇假設二極體一旦逆偏就立刻截止。但這在高頻或快速切換時嚴重失真。當一個原本順向導通的 PN 接面突然被施加逆向電壓時，它不會立刻停止導通，反而會出現一段反向電流的尖峰，這段時間稱為逆向恢復時間（reverse recovery time，$t_{rr}$）。

物理根源是：順向導通時，接面兩側注入了大量少數載子（儲存電荷，stored charge $Q_{rr}$）。要讓二極體真正截止，這些電荷必須先被抽走或復合掉。在被抽走的過程中，電流可以反向流動——二極體在這短暫瞬間像是「短路」。

$t_{rr}$ 的後果在開關電源裡非常實際：

• 切換損耗：每次切換都有 $V \times I$ 的瞬間功率損耗，頻率越高累積越多。
• 電壓尖峰與 EMI：反向電流突然中斷時，電路寄生電感產生 $L\,\dfrac{di}{dt}$ 的電壓尖峰，是電磁干擾的主要來源。

這就是為什麼高頻整流要用快速恢復二極體（fast recovery，$t_{rr}$ 數十至數百 ns）或蕭特基二極體（Schottky diode）。蕭特基用金屬-半導體接面，導電靠多數載子（majority carrier），幾乎沒有少數載子儲存電荷，因此 $t_{rr}$ 極短、順向壓降也低（約 0.2–0.4 V）。代價是逆向漏電流較大、逆向耐壓較低。

整流濾波：紋波、保持時間與電容選型

現在把這些零件放回真實的整流電源。橋式整流加電容濾波後，輸出不是平滑直流，而是電容在二極體導通的短暫時段被充到峰值、之後在負載放電直到下一個峰值的鋸齒波。這個上下起伏就是紋波電壓（ripple voltage，$V_r$）。

對全波整流（橋式或中心抽頭），常用的紋波估算式為：

$$V_r \approx \frac{I_{load}}{2 f C}$$

其中 $I_{load}$ 是負載電流、$f$ 是交流線頻率（台灣為 60 Hz）、$C$ 是濾波電容、係數 2 來自全波整流每週期有兩個充電脈衝。直流平均輸出大約是峰值減去半個紋波：

$$V_{dc} \approx V_{peak} - \frac{V_r}{2}$$

而 $V_{peak}$ 本身又要扣掉兩個二極體的順向壓降（橋式整流每半週期有兩顆二極體串在電流路徑上）：

$$V_{peak} = \sqrt{2}\,V_{rms} - 2 V_D$$

這就回答了開頭的問題：12 V 交流的峰值是 17 V，但扣掉兩顆二極體約 $2 \times 0.8 = 1.6$ V，再扣半個紋波，輸出自然「矮了一截」。

動手算一下：選一顆濾波電容

設計一個橋式整流電源：輸入 $V_{rms} = 12\,\text{V}$、$60\,\text{Hz}$，負載電流 $I_{load} = 0.5\,\text{A}$，要求紋波不超過 $V_r = 1\,\text{V}$（峰對峰）。求最小濾波電容。

由紋波公式反解 $C$：

$$C = \frac{I_{load}}{2 f V_r} = \frac{0.5}{2 \times 60 \times 1} = \frac{0.5}{120} \approx 4170\,\mu\text{F}$$

實務上會選標準值且留裕度，例如 $4700\,\mu\text{F}$ 或更大。接著估算直流輸出：

$$V_{peak} = \sqrt{2} \times 12 - 2 \times 0.8 \approx 16.97 - 1.6 = 15.37\,\text{V}$$

$$V_{dc} \approx 15.37 - \frac{1}{2} = 14.87\,\text{V}$$

再檢查二極體的重複峰值逆向電壓（peak repetitive reverse voltage，$V_{RRM}$）需求。在橋式整流中，截止的二極體承受約一個峰值電壓 $\approx 17$ V，所以選 $V_{RRM} \ge 50$ V 的二極體（如 1N4001 的 50 V）已綽綽有餘，但若考慮電網突波，選 1N4007（1000 V）更穩妥。

還要注意突波電流（inrush current）：上電瞬間電容近乎短路，充電電流可能瞬間飆到數安培甚至數十安培，遠超穩態的 0.5 A。二極體的「非重複突波電流額定」（$I_{FSM}$）與是否需要串入限流電阻或 NTC 熱敏電阻，都要在這一步一併考量。

重點回顧

• 0.7 V 不是常數：二極體順向電壓由 Shockley 方程式 $I_D = I_S(e^{V_D/nV_T}-1)$ 決定，電流每變化一個數量級，$V_D$ 只變約 $60n$ mV。
• 溫度主宰一切：$I_S$ 約每 10 °C 翻倍，導致固定電流下 $V_D$ 以約 $-2$ mV/°C 下降，並帶來熱失控與逆向漏電流劇增的風險。
• 逆向恢復是高頻整流的真正瓶頸：儲存電荷 $Q_{rr}$ 造成 $t_{rr}$、切換損耗與 EMI；蕭特基二極體靠多數載子導電幾乎免除此問題。
• 整流輸出永遠矮一截：橋式輸出 $V_{dc} \approx \sqrt{2}V_{rms} - 2V_D - V_r/2$，紋波 $V_r \approx I_{load}/(2fC)$。
• 電容選型有公式可循：由允許紋波反解 $C = I_{load}/(2fV_r)$，並要兼顧 $V_{RRM}$、突波電流與熱裕度。

深入探討（研究所視角）

小訊號模型與動態電阻。 在偏壓工作點 $I_{DQ}$ 附近做線性化，二極體呈現一個微分電阻（dynamic resistance）：

$$r_d = \left.\frac{dV_D}{dI_D}\right|_{I_{DQ}} = \frac{n V_T}{I_{DQ}}$$

在 1 mA、$n=1$ 時 $r_d \approx 26\,\Omega$。這是分析二極體在交流疊加直流偏壓下行為的基礎，也是包絡檢波器（envelope detector）、限幅器等電路設計的入口。完整的小訊號模型還要並聯接面電容（junction capacitance）：逆偏時以空乏電容 $C_j = C_{j0}/(1+V_R/\phi_0)^m$ 為主（$\phi_0$ 為內建電位、$m$ 為梯度因子），順偏時以擴散電容 $C_d = \tau_T \cdot I_D/(nV_T)$ 為主（$\tau_T$ 為渡越時間，transit time）。這正是逆向恢復電荷 $Q_{rr} \approx \tau_T I_F$ 的微觀來源——$t_{rr}$ 與少數載子壽命直接綁定。

SPICE 層級的建模。 真實二極體在大電流下會偏離理想指數曲線，因為串聯電阻 $R_S$（中性區體電阻）造成額外壓降，使得有效方程式變為 $I_D = I_S(e^{(V_D - I_D R_S)/nV_T}-1)$，這是一個需要數值迭代求解的隱式方程。SPICE 模型還會加入崩潰參數（$BV$、$IBV$）描述齊納/雪崩崩潰、以及溫度模型把 $I_S$、$\phi_0$ 對 $T$ 的依賴納入。理解這些參數，才能解釋為什麼模擬與手算在高電流區會分歧。

PFC 與功率因數。 在研究所的電力電子課題裡，傳統電容濾波整流器有一個被入門篇完全忽略的問題：它的輸入電流只在電壓接近峰值的短時段流動，呈現高度失真的脈衝狀，造成低功率因數（power factor，常低於 0.6）與大量諧波電流，違反 IEC 61000-3-2 等電網諧波規範。解法是功率因數校正（Power Factor Correction, PFC），以一個受控的升壓（boost）轉換器主動塑形輸入電流使其追隨正弦電壓波形。這把「整流」從一個被動零件問題，提升為一個閉迴路控制問題——也是把二極體整流連接到現代開關電源、電動車充電器與資料中心電源的橋樑。值得進一步閱讀的主題包括連續導通模式（CCM）與臨界導通模式（CrM）PFC 的取捨、以及碳化矽（SiC）與氮化鎵（GaN）寬能隙二極體如何把切換頻率推到 MHz 量級。