面積與體積

定積分的第一批應用：算面積、算體積。所有公式的心法都一樣：切一片薄片、寫出這一片的量、積起來。學會這個心法，公式不用背。

兩曲線間的面積

$$A=\int_a^b\bigl(\text{上曲線}-\text{下曲線}\bigr)\,dx$$

先解交點定出範圍。例：$y=x$ 與 $y=x^2$，交點 $x=0,1$，區間內 $x\ge x^2$（上為直線），所以

$$A=\int_0^1(x-x^2)\,dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$

若兩曲線在區間內交錯，得分段、每段取「上減下」，否則正負會互相抵銷。

旋轉體體積：圓盤法

把曲線 $y=f(x)$ 下方區域繞 $x$ 軸旋轉。垂直於軸切一刀，薄片是半徑 $f(x)$ 的圓盤，體積 $\pi[f(x)]^2\,dx$：

$$V=\int_a^b \pi\left[f(x)\right]^2 dx$$

例：$y=\sqrt{x}$、$x\in[0,4]$ 繞 $x$ 軸：

$$V=\pi\int_0^4(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$$

經典驗證——球的體積：半圓 $y=\sqrt{r^2-x^2}$ 繞 $x$ 軸轉出球：

$$V=\int_{-r}^{r}\pi\left(r^2-x^2\right)dx=\frac{4}{3}\pi r^3$$

國中背的公式，原來是積分算出來的。

中空旋轉體：墊圈法

區域夾在兩條曲線之間時，薄片是有洞的墊圈（外半徑減內半徑）：

$$V=\int_a^b \pi\left(\text{外}^2-\text{內}^2\right)dx$$

例：$y=x$ 與 $y=x^2$ 之間的區域繞 $x$ 軸：

$$V=\pi\int_0^1\left(x^2-x^4\right)dx=\pi\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=\frac{2\pi}{15}$$

注意是「平方後相減」，不是「相減後平方」——$(x-x^2)^2$ 是錯的。

旋轉體體積：殼層法

繞 $y$ 軸轉時，改成平行於軸切：薄片是一層圓柱殼（半徑 $x$、高 $h(x)$、厚 $dx$，展開是長 $2\pi x$ 的長方片）：

$$V=\int_a^b 2\pi x\,h(x)\,dx$$

例：同一塊區域（$y=x$ 與 $y=x^2$ 之間）繞 $y$ 軸：

$$V=2\pi\int_0^1 x\,(x-x^2)\,dx=2\pi\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=\frac{\pi}{6}$$

怎麼選方法：圓盤／墊圈＝垂直旋轉軸切、殼層＝平行旋轉軸切。原則只有一條：挑「一片的量寫得出來」的切法。

動手驗算

用下方工具算 $\int(x-x^2)\,dx$ 的不定積分，再自己代上下限 $0,1$ 驗證面積 $\dfrac{1}{6}$。