極值與最佳化

「最大獲利、最短時間、最省材料」——最佳化是微積分最實用的一面。而工具出奇地簡單：導數等於零的地方，就是極值的候選人。

臨界點與費馬定理

費馬定理：若 $f$ 在 $c$ 有局部極值且 $f'(c)$ 存在，則 $f'(c)=0$。（山頂與谷底的切線是水平的。）

臨界點 = 使 $f'=0$ 或 $f'$ 不存在的點。注意方向：極值必在臨界點，但臨界點不保證是極值——$f(x)=x^3$ 在 $0$ 導數為零，卻只是一個平台，穿過去繼續上升。所以臨界點是「候選人名單」，還需要下面兩種判定來面試。

一階導數判定：看遞增遞減

$f'>0$ 遞增、$f'<0$ 遞減；$f'$ 在臨界點由正轉負 → 局部最大、由負轉正 → 局部最小。

範例：$f(x)=x^3-3x$，$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$，臨界點 $x=\pm 1$。

所以 $x=-1$ 是局部最大（$f(-1)=2$）、$x=1$ 是局部最小（$f(1)=-2$）。

二階導數判定與凹凸

$f''(c)>0$：開口向上 → 局部最小；$f''(c)<0$：開口向下 → 局部最大；$f''(c)=0$：本法失效，退回一階判定。

同一範例 $f''(x)=6x$：$f''(-1)=-6<0$（最大 ✓）、$f''(1)=6>0$（最小 ✓）。$f''$ 變號的點稱反曲點——這裡是 $x=0$，曲線由凹向下轉為凹向上。

閉區間上的絕對極值

極值定理保證：連續函數在閉區間 $[a,b]$ 上必有絕對最大與最小。找法三步：

1. 求區間內的臨界點值；2. 求端點值；3. 比大小。

$f(x)=x^3-3x$ 在 $[-2,2]$：$f(-1)=2$、$f(1)=-2$、$f(-2)=-2$、$f(2)=2$ → 絕對最大 $2$（在 $x=-1$ 與 $x=2$）、絕對最小 $-2$（在 $x=1$ 與 $x=-2$）。端點常常翻盤，別只看臨界點。

最佳化實戰：圍籬問題

$40$ 公尺籬笆圍一塊長方形地，怎麼圍面積最大？設長為 $x$，寬為 $20-x$：

$$A(x)=x(20-x),\qquad A'(x)=20-2x=0\;\Rightarrow\;x=10$$

$A''=-2<0$ 確為最大：$10\times 10$ 的正方形，面積 $100$ 平方公尺。

解題流程：畫圖設變數 → 寫目標函數 → 用約束條件消成單變數 → 求臨界點 → 判定並檢查端點。

看得見的微積分：拋體的最高點

上拋高度 $y(t)=v_0t-\tfrac{1}{2}gt^2$ 是「求最大高度」的極值問題：

$$y'(t)=v_0-gt=0\;\Rightarrow\;t=\frac{v_0}{g},\qquad y_{\max}=\frac{v_0^2}{2g}$$

以 $v_0=20\ \mathrm{m/s}$、$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$：$t\approx 2.04$ 秒、最高約 $20.4$ 公尺。到拋體模擬把初速調成 $20$，親眼驗證這兩個數字——最高點正是「導數（速度）歸零」的瞬間。