極限的直觀

極限回答一個很日常的問題：當輸入「越來越靠近」某個值時，函數的輸出「趨向」什麼？整座微積分——導數、積分、級數——都建立在這個概念上。

從數值表與圖形看極限

考慮函數

$$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$$

在 $x=2$ 這一點，分母為 $0$，$f(2)$ 沒有定義。但我們仍然可以問：當 $x$ 越來越靠近 $2$（但不等於 $2$）時，$f(x)$ 趨向哪裡？列一張數值表：

不論從左邊還是右邊靠近，$f(x)$ 都往 $4$ 集中。我們把這件事記作

$$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=4$$

為什麼是 $4$？因為只要 $x\neq 2$，就可以約分：

$$\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$$

所以在 $2$ 附近（但不等於 $2$），$f$ 的行為和直線 $y=x+2$ 一模一樣——圖形上就是一條直線，在 $(2,4)$ 處挖了一個洞。

極限關心的是「靠近時的趨勢」，不是「那一點的值」。函數在該點有沒有定義、值是多少，都不影響極限。

左極限與右極限

「靠近」有兩個方向。從右邊靠近記作 $x\to a^+$，從左邊靠近記作 $x\to a^-$。有些函數兩邊趨向不同的值，例如 $g(x)=\dfrac{|x|}{x}$：

• 當 $x>0$ 時 $|x|=x$，所以 $g(x)=1$；
• 當 $x<0$ 時 $|x|=-x$，所以 $g(x)=-1$。

$$\lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}=1,\qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}=-1$$

左右極限不相等，所以 $\lim_{x\to 0}\dfrac{|x|}{x}$ 不存在。一般而言：

極限存在，等價於左極限與右極限都存在且相等。

極限不存在的三種常見情況

1. 左右不相等（跳躍）：如上面的 $\dfrac{|x|}{x}$。
2. 無限增大：例如 $\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}=\infty$——函數值沒有趨向任何有限值，習慣上記作趨於無窮（嚴格來說極限不存在，這個記號描述的是「增大的方式」）。
3. 震盪不定：$\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ 在 $x\to 0$ 時，於 $-1$ 與 $1$ 之間無限來回，不趨向任何值。

極限的運算法則

若 $\lim_{x\to a}f(x)$ 與 $\lim_{x\to a}g(x)$ 都存在，極限可以拆開算：

$$\lim(f\pm g)=\lim f\pm\lim g,\qquad \lim(fg)=\lim f\cdot\lim g,\qquad \lim\frac{f}{g}=\frac{\lim f}{\lim g}\ (\lim g\neq 0)$$

反覆使用這些法則可知：多項式與有理函數（在分母不為零處）的極限，直接代入即可。例如

$$\lim_{x\to 3}(x^2+2x)=3^2+2\cdot 3=15$$

這就是「代入法」的正當性來源——不是運氣好，是運算法則保證的。

0/0 不定型：先整理，再取極限

直接代入若得到 $\dfrac{0}{0}$，答案可能是任何值，必須先做代數整理。兩招最常用：

約分：開頭的 $\dfrac{x^2-4}{x-2}$ 就是——約掉 $(x-2)$ 後代入得 $4$。

有理化：

$$\lim_{x\to 9}\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}=\lim_{x\to 9}\frac{\sqrt{x}-3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}=\lim_{x\to 9}\frac{1}{\sqrt{x}+3}=\frac{1}{6}$$

更系統的 $0/0$ 解法（羅必達法則）需要用到導數，屬於第三、四章的內容。

夾擠定理

若在 $a$ 附近恆有 $g(x)\le f(x)\le h(x)$，且 $\lim g=\lim h=L$，則 $\lim f=L$。

經典例子：因為 $-1\le\sin\frac{1}{x}\le 1$，所以

$$-x^2\;\le\; x^2\sin\frac{1}{x}\;\le\; x^2$$

左右兩側在 $x\to 0$ 時都趨於 $0$，於是 $\lim_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}=0$——$\sin\frac{1}{x}$ 自己震盪不定，卻被 $x^2$ 牢牢夾熄。下一節的 $\lim\frac{\sin x}{x}=1$，教科書上正是用夾擠定理（配合幾何面積比較）證明的。

無窮遠處的極限與水平漸近線

$x\to\infty$ 問的是「走得夠遠之後，函數安定在哪裡」。基本事實：$\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0$。有理函數同除以分母最高次冪即可：

$$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-2}=\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{2}{x^2}}=3$$

口訣：分子次數低 → $0$；同次 → 最高次係數比；分子次數高 → 無界。若 $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$，幾何上圖形貼近水平線 $y=L$——稱為水平漸近線。

動手看：sin(x)/x 在 0 附近

$\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 沒有定義（$x$ 用弧度）。列表逼近看看：

數值一路貼近 $1$（從負的一側靠近也一樣，因為這個函數是偶函數）。事實上

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$

這條極限是之後推導 $\sin x$、$\cos x$ 導數的關鍵。用下方的互動工具把 $\dfrac{\sin x}{x}$ 畫出來，親眼看看它在 $0$ 附近如何貼近 $1$——以及在 $(0,1)$ 處那個「看不見的洞」。