泰勒級數
用無窮多項式逼近函數。
計算機沒有「$\sin$ 鍵的電路」，它是怎麼算 $\sin 0.5$ 的？答案出乎意料：用多項式。泰勒級數說：夠平滑的函數，可以用無窮多項式完整重建——這是本章的終點站。
無窮多個數加起來：級數的收斂
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots=1$$
無窮多項相加可以是有限值——只要部分和趨向一個極限，就說級數收斂。最重要的一族是幾何級數：
$$\sum_{k=0}^{\infty}r^k=\frac{1}{1-r}\qquad(|r|<1\text{ 收斂；}|r|\ge 1\text{ 發散})$$
「級數」是「極限」概念的又一次上場：加不完，就問部分和趨向哪裡。
冪級數與收斂半徑
把每一項換成「係數 $\times x^n$」，就得到冪級數——一個「無窮次多項式」。幾何級數換個寫法就是第一個例子：
$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots\qquad(|x|<1)$$
每個冪級數都有收斂半徑 $R$：$|x|<R$ 內收斂、之外發散。上例 $R=1$；接下來的 $e^x$、$\sin x$、$\cos x$ 則是 $R=\infty$（全數線通用）。
泰勒級數
用 $x=a$ 處的各階導數當係數，重建函數：
$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$$
$a=0$ 時稱馬克勞林級數。三個必背（對所有 $x$ 成立）：
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$$
$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots\qquad \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$
只取到一次項，就是第三章的線性近似 $f(a)+f'(a)(x-a)$——泰勒級數是它的無窮延伸。
多項式如何逼近：實算 sin(0.5)
真值 $\sin 0.5=0.4794255\ldots$（弧度）。逐項加：
| 取到 | 近似值 | 誤差 |
|---|---|---|
| $x$ | $0.5$ | 約 $2\times 10^{-2}$ |
| $x-\dfrac{x^3}{3!}$ | $0.4791667$ | 約 $3\times 10^{-4}$ |
| $x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}$ | $0.4794271$ | 約 $2\times 10^{-6}$ |
每多一項，誤差縮小約兩個數量級（截斷誤差大約是第一個被捨去的項）。計算機算三角函數、指數、對數，本質上就是這張表——取夠多項、控制誤差。
看得見的微積分：小角度近似
把 $\sin\theta$ 只取第一項：$\sin\theta\approx\theta$（捨去 $\theta^3/6$ 起的尾巴）。單擺的週期公式 $T=2\pi\sqrt{L/g}$ 正是建立在這個近似上——擺角小，$\theta^3/6$ 可忽略；擺角大，週期開始隨角度變長。到單擺模擬把角度逐步調大，看公式何時失準——你看的就是泰勒級數第三項的現身。弦上駐波的簡諧振動，同樣靠這個近似。
動手比較
用下方工具畫 $e^x$，心裡疊上 $1+x+\frac{x^2}{2}$：$0$ 附近幾乎重合、離開 $0$ 逐漸分家——泰勒級數就是「用一個點的完整資訊，重建整條函數」。