微積分基本定理

微分問「這一瞬間變化多快」，積分問「這段區間總共累積多少」。看似兩個不相干的問題，微積分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus，簡稱 FTC）證明它們互為逆運算——這是整座微積分的橋樑。

反導數：把微分倒過來

若 $F'(x)=f(x)$，稱 $F$ 是 $f$ 的一個反導數。例如

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3}\right)=x^2$$

所以 $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$ 是 $f(x)=x^2$ 的反導數。由於常數微分為零，$\dfrac{x^3}{3}+C$（$C$ 為任意常數）全都是——反導數是一整族函數，記作

$$\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C$$

第一基本定理：面積函數的導數是原函數

把「從 $a$ 累積到 $x$ 的面積」看成 $x$ 的函數：

$$A(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$

FTC 第一部分：若 $f$ 連續，則 $A'(x)=f(x)$。

直觀理由：從 $x$ 再往前多走一小步 $h$，多累積的面積近似一條高 $f(x)$、寬 $h$ 的細長條，即 $A(x+h)-A(x)\approx f(x)\cdot h$；除以 $h$ 再取極限，就得到 $A'(x)=f(x)$。

例：$\displaystyle A(x)=\int_0^x \cos t\,dt=\sin x$，微分回去 $A'(x)=\cos x$，正是被積函數。

第二基本定理：用反導數算定積分

FTC 第二部分：若 $F$ 是 $f$ 的任一反導數，則

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$

這把「切成無窮多細條再加總」的定積分，變成「找反導數、代兩端相減」的代數操作。三個例子：

$$\int_0^1 x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac{1}{2}$$

$$\int_1^2 x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$$

$$\int_0^{\pi}\sin x\,dx=\bigl[-\cos x\bigr]_0^{\pi}=1-(-1)=2$$

用黎曼和驗證第一個例子：$f(x)=x$ 在 $[0,1]$ 切 $4$ 等分取右端點，得 $\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4}+1\right)=\dfrac{5}{8}=0.625$；切 $n$ 等分的和是 $\dfrac{n+1}{2n}$，當 $n\to\infty$ 時正是 $\dfrac{1}{2}$。兩條路殊途同歸。

為什麼微分與積分互逆

第一部分說：先積分再微分，會還原回原函數（$A'=f$）。第二部分說：先微分再積分，只差兩端相減（$\int_a^b F'(x)\,dx=F(b)-F(a)$）。「求變化率」與「求累積量」是同一件事的兩個方向。

FTC 第一部分的連鎖律版

積分上限若不是 $x$ 而是 $x$ 的函數，微分時要補乘上限的導數（連鎖律）：

$$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt=\cos(x^2)\cdot 2x$$

口訣：把上限代進被積函數，再乘上限的導數。

換元積分：連鎖律倒著用

微分有連鎖律，積分就有換元法（$u$-代換）。算 $\displaystyle\int 2x\cos(x^2)\,dx$：

令 $u=x^2$，則 $du=2x\,dx$，於是

$$\int 2x\cos(x^2)\,dx=\int\cos u\,du=\sin u+C=\sin(x^2)+C$$

（微分驗算：$\left[\sin(x^2)\right]'=\cos(x^2)\cdot 2x$ ✓）定積分換元時上下限也要跟著換：

$$\int_0^{\sqrt{\pi/2}}2x\cos(x^2)\,dx=\int_0^{\pi/2}\cos u\,du=1$$

更多技巧（分部積分、三角代換、部分分式）集中在第七章。

位移與路程：定積分的正負號

速度 $v(t)=t^2-4$（前 $2$ 秒為負＝倒退，之後為正＝前進），走 $3$ 秒：

位移（淨值，可正可負）：

$$\int_0^3(t^2-4)\,dt=\left[\frac{t^3}{3}-4t\right]_0^3=9-12=-3$$

路程（把負的翻正再加）：

$$\int_0^3|v(t)|\,dt=\int_0^2(4-t^2)\,dt+\int_2^3(t^2-4)\,dt=\frac{16}{3}+\frac{7}{3}=\frac{23}{3}$$

這是淨變化定理的縮影：$\int_a^b F'(x)\,dx=F(b)-F(a)$——任何量的淨變化，都是其變化率的積分。電荷、人口、水位，全都適用。

看得見的微積分：電流累積成電荷

電流是電荷的變化率：$i(t)=\dfrac{dq}{dt}$。反過來，一段時間內累積的電荷就是電流的定積分：

$$q(t_2)-q(t_1)=\int_{t_1}^{t_2} i(t)\,dt$$

在 RC 電路模擬中，充電電流隨時間衰減，而電容上的電荷持續累積——電流曲線下的面積，正是電荷的增加量。這就是 FTC 在真實電路裡的樣子。

最後用下方互動工具驗算：輸入 $2x$ 積分應得 $x^2$；再對 $x^2$ 微分應回到 $2x$。微分與積分，互為逆運算。