積分的直觀：累積與面積

里程表壞了，但你每一秒都記下時速——能算出總共走了多遠嗎？能：把「速度 × 一小段時間」逐段加起來。把這個「切碎、加總」的想法做到極致，就是定積分。

黎曼和：用矩形逼近面積

想算 $f(x)=x^2$ 在 $[0,1]$ 下方的面積。切成 $4$ 等分、每段用右端點的函數值當矩形高：

$$R_4=\frac{1}{4}\left[\left(\tfrac{1}{4}\right)^2+\left(\tfrac{2}{4}\right)^2+\left(\tfrac{3}{4}\right)^2+\left(\tfrac{4}{4}\right)^2\right]=\frac{15}{32}=0.46875$$

偏大了（矩形冒出曲線）。切 $n$ 等分，利用 $\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$：

$$R_n=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2\frac{1}{n}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;\frac{1}{3}$$

矩形越切越細，誤差煙消雲散——面積正是 $\dfrac{1}{3}$。

定積分的定義

把上述過程一般化：

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k^*)\,\Delta x$$

讀法：把 $[a,b]$ 切碎（$\Delta x$）、每片取樣高度（$f(x_k^*)$）、乘寬加總、取極限。剛才算的就是 $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx=\frac{1}{3}$。

$\int$ 這個拉長的 S，正是「Sum」的 S——萊布尼茲的原意就是無窮細的加總。

有號面積：負的部分怎麼算

$f<0$ 的區段，矩形高是負的，貢獻負值。例如

$$\int_0^{2\pi}\sin x\,dx=0$$

上半波與下半波正負抵銷。要問「圍出多少面積」取絕對值；要問「淨累積多少」保留正負——兩種讀法對應不同的問題，別混用。

定積分的性質

• 線性：$\int(cf+g)=c\int f+\int g$；
• 區間可加：$\int_a^b+\int_b^c=\int_a^c$；
• 比較：$f\le g$ 則 $\int_a^b f\le\int_a^b g$。

都是「加總」性質的直接延伸——把積分想成總和，這些性質不證自明。

看得見的微積分：累積的物理

電流累積成電荷：$i=\dfrac{dq}{dt}$，一段時間的電荷變化＝電流曲線下的面積（RC 電路模擬中，充電電流漸減、電荷漸增）。 衝量改變動量：碰撞模擬裡 $\int F\,dt$ 就是動量變化——力越大、作用越久，累積越多。

黎曼和是概念的地基，但沒有人真的用它算積分——下一篇微積分基本定理提供快捷通道：找反導數、代兩端相減，秒殺。