同一根柱子，為什麼「圍束」之後就像換了一種材料？

同一根柱子，為什麼「圍束」之後就像換了一種材料？

入門篇我們說過：混凝土抗壓強、抗拉弱，箍筋能提供圍壓（confinement）讓結構「大震不倒」。但如果追問下去——那道圍壓到底把混凝土的應力—應變曲線（stress–strain curve）改變成什麼形狀？為什麼一根加密箍筋的柱子，極限壓應變可以從 0.003 拉到 0.02 以上、整整放大七八倍？而這多出來的變形能力，又如何換算成地震中「能撐住的位移」？

這篇進階文章不再重述「壓力給混凝土、拉力給鋼筋」的分工，而是直接潛入材料的非線性與時間相依行為（nonlinear and time-dependent behavior）：混凝土受壓的真實曲線、Mander 圍束模型、潛變（creep）與乾縮（shrinkage）如何讓一棟「完工當天合格」的建築在十年後悄悄變形，以及反覆載重下材料如何疲勞退化。這些正是入門設計公式（等值矩形應力塊、$M_n$ 計算）背後被「藏起來」的物理。

混凝土受壓的真實曲線：那條被矩形應力塊抹平的拋物線

入門篇計算 $M_n$ 時，我們把受壓區假設成一塊高 $0.85f'_c$、寬 $a$ 的均勻應力塊（Whitney stress block）。這是個聰明的工程簡化，但它抹掉了混凝土最重要的個性——它的應力—應變關係根本不是直線，而是一條先升後降的拋物線。

素混凝土（unconfined concrete）單軸受壓的經典模型是 Hognestad 拋物線。設峰值應力 $f'_c$ 對應的應變為 $\varepsilon_0$（約 0.002），上升段可寫為：

$$f_c = f'_c \left[ \frac{2\varepsilon_c}{\varepsilon_0} - \left(\frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_0}\right)^2 \right]$$

這條曲線告訴我們三件入門公式看不見的事：第一，初始切線模數（曲線起點斜率）約為 $2f'_c/\varepsilon_0$，這才是真正的瞬時剛度；第二，過了峰值之後曲線往下走（軟化段，softening），應力下降但應變繼續增加——這就是「混凝土被壓碎」的物理過程；第三，素混凝土在應變達到約 0.0035 ~ 0.004 時，承載力已掉到所剩無幾。設計規範取極限壓應變 $\varepsilon_{cu} = 0.003$，正是為了停在曲線還「來得及反應」的地方。

關鍵問題來了：如果素混凝土的可用應變只有 0.003，那台灣耐震規範要求的大變形韌性從哪裡來？答案就是圍束。

Mander 圍束模型：把「碎掉就沒了」變成「碎掉還能撐」

當箍筋（橫向鋼筋，transverse reinforcement）密集地箍住核心混凝土，受壓時核心想往外膨脹（蒲松效應，Poisson effect），箍筋便被撐張、反過來對核心施加側向圍壓 $f_l$。混凝土在三軸受壓狀態下，強度與延性都大幅提升——這就是 Mander 等人於 1988 年提出、至今仍是耐震分析主力的圍束模型（confined concrete model）。

圍束後的峰值強度 $f'_{cc}$ 由有效圍壓決定：

$$f'_{cc} = f'_c \left( -1.254 + 2.254\sqrt{1 + \frac{7.94 f'_l}{f'_c}} - \frac{2 f'_l}{f'_c} \right)$$

其中 $f'_l$ 是有效側向圍壓，與箍筋體積比 $\rho_s$、箍筋降伏強度 $f_{yh}$ 及圍束有效係數 $k_e$ 相關：$f'_l = \tfrac{1}{2} k_e \rho_s f_{yh}$。而圍束後峰值應變 $\varepsilon_{cc}$ 的放大更驚人：

$$\varepsilon_{cc} = \varepsilon_0 \left[ 1 + 5\left(\frac{f'_{cc}}{f'_c} - 1\right) \right]$$

這條式子是整個延性設計的數學心臟：強度只放大一點點，應變卻放大好幾倍。換句話說，圍束的真正價值不在「變強」，而在「變韌」——讓曲線的軟化段拉得又長又緩，讓柱子壓碎之後仍能維持承載並繼續變形吸能。921 之後規範狂加箍筋、要求 135° 耐震彎鉤（確保箍筋在保護層剝落後仍緊咬核心），本質上就是在把每根柱子的應力—應變曲線從「素混凝土那條短命拋物線」改寫成「Mander 那條長尾巴曲線」。

看一個例子：圍束讓極限應變放大幾倍？

某 RC 柱核心混凝土 $f'_c = 28\ \text{MPa}$、$\varepsilon_0 = 0.002$。採用 D13 箍筋（單支面積 $127\ \text{mm}^2$）、$f_{yh} = 420\ \text{MPa}$，箍筋間距 $s = 100\ \text{mm}$，核心尺寸 $b_c = h_c = 400\ \text{mm}$，並假設圍束有效係數 $k_e \approx 0.75$。估算圍束後的峰值強度與應變。

步驟一：箍筋體積比 $\rho_s$

雙向各兩肢箍筋，單一斷面橫向鋼筋總長約 $2 \times (b_c + h_c) = 2 \times 800 = 1600\ \text{mm}$，但採用簡化的體積比公式（雙向對稱）：

$$\rho_s = \frac{2 A_{sh}(b_c + h_c)}{b_c \, h_c \, s} = \frac{2 \times 127 \times (400 + 400)}{400 \times 400 \times 100} \approx 0.0127$$

步驟二：有效側向圍壓 $f'_l$

$$f'_l = \tfrac{1}{2} k_e \rho_s f_{yh} = \tfrac{1}{2} \times 0.75 \times 0.0127 \times 420 \approx 2.0\ \text{MPa}$$

步驟三：圍束後峰值強度 $f'_{cc}$

$$f'_{cc} = 28 \left( -1.254 + 2.254\sqrt{1 + \frac{7.94 \times 2.0}{28}} - \frac{2 \times 2.0}{28} \right)$$

括號內 $= -1.254 + 2.254\sqrt{1.567} - 0.143 = -1.254 + 2.254 \times 1.252 - 0.143 \approx 1.42$

$$f'_{cc} \approx 28 \times 1.42 \approx 39.8\ \text{MPa}$$

步驟四：圍束後峰值應變 $\varepsilon_{cc}$

$$\varepsilon_{cc} = 0.002 \left[ 1 + 5\left(\frac{39.8}{28} - 1\right) \right] = 0.002 \left[ 1 + 5 \times 0.421 \right] \approx 0.0062$$

結果解讀：強度只升了約 42%（28 → 39.8 MPa），但峰值應變升了三倍（0.002 → 0.0062），而極限壓應變 $\varepsilon_{cu}$ 通常還會延伸到 0.015 以上。這正是「同一根柱子，圍束後像換了一種材料」的量化證據——它換來的不是更高的招牌強度，而是地震中救命的變形能力。

潛變與乾縮：建築完工當天合格，十年後悄悄變形

入門篇把混凝土強度當成一個固定數字。但混凝土其實是個會隨時間爬行的材料。兩個長期效應特別重要：

潛變（creep）是指在持續載重下，混凝土應變會隨時間緩慢增加。一根承受恆載的梁，即使載重完全不變，撓度也會在數年間持續成長，最終潛變變形可達初始彈性變形的 2 至 3 倍。常用潛變係數 $\phi(t, t_0)$ 描述：

$$\varepsilon_{c}(t) = \varepsilon_{el} \left[ 1 + \phi(t, t_0) \right]$$

其中 $\varepsilon_{el}$ 是加載瞬間的彈性應變，$\phi$ 是潛變係數（典型終值 1.5 ~ 3.0）。這就是為什麼預力混凝土（prestressed concrete）設計必須精算預力損失（prestress loss）——潛變與乾縮會讓鋼腱逐漸鬆弛，幾年後的有效預力可能只剩初始的 80%。

乾縮（shrinkage）則是混凝土在硬化過程中因水分散失而體積縮小，與載重無關。典型乾縮應變 $\varepsilon_{sh}$ 約 $200 \times 10^{-6}$ 到 $700 \times 10^{-6}$。乾縮若被結構束制（例如樓板兩端被柱牆鎖住無法自由縮短），就會在混凝土內產生拉應力——而混凝土抗拉弱，於是出現乾縮裂縫。台灣濕熱、日夜溫差大的環境，使溫度應變與乾縮疊加，這也是大面積樓板與長牆需設置伸縮縫（expansion joint）與控制縫（control joint）的根本原因。

值得注意的是，潛變在這裡有個「好心」的副作用：混凝土的潛變會鬆弛（relax）因乾縮被束制而累積的拉應力，讓實際裂縫風險低於純彈性計算的預測。材料的時間相依性，既是麻煩也是緩衝。

反覆載重下的材料退化：地震不是「一次最大力」

入門設計檢核的是「最大載重下會不會壞」，但地震是反覆來回（cyclic）的數十個週期。在這種載重下，材料行為與單調（monotonic）受力截然不同：

• 混凝土的勁度退化（stiffness degradation）：每經歷一次大變形循環，微裂縫累積，再加載時的勁度便比上一次低，遲滯迴圈（hysteresis loop）會逐圈「捏縮（pinching）」。
• 握裹滑移（bond slip）：反覆拉壓使鋼筋與混凝土間的握裹逐漸破壞，鋼筋在錨定區產生滑移，導致構件位移中有一部分並非「真正的變形」，而是鋼筋被拔出的鬆動。
• 低週疲勞（low-cycle fatigue）：縱向鋼筋在塑性鉸（plastic hinge）區反覆受拉壓，可能在遠低於靜態斷裂應變時就因疲勞而斷裂，這是強震後現場常見的鋼筋脆斷成因之一。

這些退化機制解釋了一件反直覺的事：一棟建築可能撐過了主震，卻在規模較小的餘震中倒塌——因為主震已經把材料的能量耗散能力「用掉」了一大半。耐震評估因此越來越重視累積損傷（cumulative damage），而非單一最大反應。Park–Ang 損傷指標就是把「最大變形」與「累積遲滯耗能」兩者加權，量化構件的真實損傷程度。

動手試試：估算一根柱的曲率延性比

延性可以用曲率延性比（curvature ductility ratio）$\mu_\phi = \phi_u / \phi_y$ 量化，它表示斷面在達到極限時的曲率是降伏曲率的幾倍。假設某柱斷面分析得到降伏曲率 $\phi_y = 0.008\ \text{rad/m}$、極限曲率 $\phi_u = 0.096\ \text{rad/m}$：

$$\mu_\phi = \frac{\phi_u}{\phi_y} = \frac{0.096}{0.008} = 12$$

$\mu_\phi = 12$ 代表這個斷面有相當良好的韌性。試著想像：若把箍筋間距加倍（圍束變差），$\phi_u$ 會明顯下降——這就是入門篇 Mander 模型放大應變的直接後果。延性比不是抽象數字，它最終會透過位移延性（displacement ductility）換算成耐震設計中的地震力折減係數 $R$：結構越韌，越能允許用較小的設計地震力（因為它靠變形吸能補足），這也是性能設計（performance-based design）的核心精神。

重點回顧

• 混凝土受壓的真實曲線是先升後降的拋物線（含軟化段），入門用的矩形應力塊只是其等效簡化；素混凝土可用壓應變僅約 0.003。
• 圍束（confinement）改寫了材料：Mander 模型顯示圍壓讓峰值強度小幅提升、峰值應變數倍放大，延性才是圍束的真正價值——這是 921 後狂加箍筋與 135° 彎鉤的力學根據。
• 潛變與乾縮讓混凝土隨時間爬行：潛變使長期撓度與預力損失累積，乾縮在被束制時引發裂縫，台灣濕熱環境使兩者更顯著。
• 地震是反覆載重，材料會發生勁度退化、握裹滑移與低週疲勞，主震耗損的能量耗散能力會讓建築更易在餘震中受害。
• 曲率延性比 $\mu_\phi$ 把材料的非線性轉化為結構的耐震能力，最終連結到性能設計的地震力折減。

深入探討（研究所視角）

在研究所層級，材料的非線性與時間相依行為會被整合進更完整的數值模擬與性能評估框架。

第一個前沿是纖維斷面模型與非線性歷時分析。 把柱斷面切成數十條混凝土纖維與鋼筋纖維，每條賦予各自的單軸本構律（混凝土用 Mander 圍束 / 非圍束曲線、鋼筋用含包辛格效應 Bauschinger effect 的 Menegotto–Pinto 模型），再沿構件積分即可得到 $M$–$\phi$ 與遲滯行為。這套纖維模型（fiber model）配合非線性歷時分析（nonlinear time-history analysis），是 OpenSees 等平台進行性能基準耐震評估的標準作法。研究熱點包括如何精準捕捉握裹滑移、剪力—撓曲互制，以及保護層剝落後的圍束失效。

第二個前沿是材料層級的多軸與率相依本構。 混凝土在三軸應力下的破壞包絡面（failure surface）、受拉軟化的斷裂能（fracture energy）、以及高應變率下（衝擊、爆炸、近斷層地震脈衝）的強度提升（dynamic increase factor），都需要比單軸曲線複雜得多的本構模型。塑性—損傷耦合模型（plastic-damage model，如 Lubliner / Lee–Fenves）能同時描述勁度退化與不可回復應變，是有限元素模擬 RC 構件破壞的利器。

第三個前沿是長期行為的不確定性與耐久性—力學耦合。 潛變與乾縮模型（如 fib Model Code、B3 模型）的預測本身帶有相當大的離散性，如何以機率方法量化長期變形的信賴區間，對橋梁與超高層建築的全壽命設計至關重要。更前沿的是把入門篇提過的氯離子擴散鏽蝕，與本篇的力學退化耦合起來——鏽蝕讓鋼筋斷面減小、握裹劣化、保護層剝落，這些都會反過來削弱圍束與延性。建立「環境劣化 → 材料性質退化 → 結構耐震能力衰減」的時變模型，是台灣這種多震、多濕、多鹽環境下既有建築補強決策最迫切需要的研究方向。

對土木研究生而言，掌握材料的非線性與時間相依行為，意味著不再把混凝土當成一個固定的 $f'_c$ 數字，而是把它理解成一個會軟化、會爬行、會在反覆地震中累積損傷的活材料——而正確模擬它的「不乖」，才是讓性能設計真正可信的關鍵。