當一場規模 7 的地震切斷一座橋，整個城市的路網會發生什麼事？

當一場規模 7 的地震切斷一座橋，整個城市的路網會發生什麼事？

入門篇我們學會用車流三變數與號誌延滯描述「平常」的交通：在需求超過供給時，車隊如何累積、路口如何壅塞。但運輸工程真正嚴峻的考驗，往往不是尖峰時刻，而是極端事件——當花蓮外海一場規模 $M_w = 7.2$ 的地震發生，某座跨河橋梁的橡膠支承（rubber bearing）剪壞、落橋（unseating），原本承載每日數萬車次的幹道瞬間歸零。此時的問題不再是「等三個紅燈」，而是：救護車能不能在黃金時間內抵達醫院？整個城市的路網還剩多少疏散能力？

這就是運輸工程裡最被低估、卻在台灣最關鍵的一個維度：交通網路的地震韌性（seismic resilience of transportation networks）。它把橋梁結構工程、路網拓樸分析、與災後動態車流指派縫在一起。這篇進階文章假設你已熟悉車流基本關係與容量分析，我們直接進入「橋梁怎麼壞、路網怎麼降級、車流怎麼重新分配」這條更深的鏈。

從單一橋梁到「易損性曲線」

要談路網韌性，得先量化單一構造物在地震下的損壞機率。橋梁工程用易損性曲線（fragility curve）描述：在給定的地震強度量度（Intensity Measure, IM，常用尖峰地表加速度 PGA 或譜加速度 $S_a$）下，結構超越某個損壞狀態（damage state，如輕微／中度／嚴重／崩塌）的條件機率。

最常用的形式是對數常態（lognormal）分布：

$$ P[\,DS \ge ds_i \mid IM = x\,] = \Phi\!\left( \frac{\ln(x / \theta_i)}{\beta_i} \right) $$

其中 $\Phi(\cdot)$ 是標準常態累積分布函數，$\theta_i$ 是達到損壞狀態 $i$ 的中位數能力（median capacity），$\beta_i$ 是對數標準差（反映不確定性）。這條 S 形曲線的意義是：地震愈強（$x$ 愈大），橋梁進入嚴重損壞的機率愈高。

台灣的橋梁依《公路橋梁耐震設計規範》設計，採容量設計（capacity design）原則：刻意讓橋墩柱的塑性鉸（plastic hinge）成為「保險絲」，在強震中以延性變形消能，同時保護橋面系統與基礎不發生脆性破壞。一座設計良好的橋，$\theta_i$ 會被推高、曲線右移，代表它要更強的地震才會壞。

看一個例子

假設某老舊預力混凝土橋墩，其「嚴重損壞」狀態的易損性參數為中位數 $\theta = 0.45g$、對數標準差 $\beta = 0.55$。若場址在某地震下的尖峰地表加速度 $PGA = 0.40g$，求此橋墩進入嚴重損壞的機率。

代入公式：

$$ P = \Phi\!\left( \frac{\ln(0.40 / 0.45)}{0.55} \right) = \Phi\!\left( \frac{\ln(0.889)}{0.55} \right) $$

計算對數：$\ln(0.889) \approx -0.1178$，因此

$$ P = \Phi\!\left( \frac{-0.1178}{0.55} \right) = \Phi(-0.214) \approx 0.415 $$

也就是說，這座老橋在這場地震中有約 41.5% 的機率進入嚴重損壞。若它經過耐震補強（retrofit），中位數能力提升到 $\theta = 0.65g$，同一場地震下：

$$ P = \Phi\!\left( \frac{\ln(0.40 / 0.65)}{0.55} \right) = \Phi\!\left( \frac{-0.485}{0.55} \right) = \Phi(-0.882) \approx 0.189 $$

補強後損壞機率從 41.5% 降到約 18.9%，幾乎砍半。這就是為什麼台灣會針對位於斷層帶或土壤液化潛勢區的關鍵橋梁，投入大量預算做擴柱、加裝阻尼器（damper）或落橋防止裝置（unseating prevention device）。

值得注意的是，易損性曲線中的對數標準差 $\beta$ 同樣關鍵：$\beta$ 愈大代表不確定性愈高、曲線愈平緩，即使在較弱的地震下也有不可忽視的損壞機率。實務上 $\beta$ 綜合了三類不確定性——地震動本身的變異（record-to-record variability）、結構材料與施工的變異、以及分析模型的誤差。研究上會用大量歷史震害資料或非線性動力分析（nonlinear time-history analysis）配合增量動力分析（Incremental Dynamic Analysis, IDA）來校估 $\theta$ 與 $\beta$，讓易損性曲線更貼近真實橋型的行為。

從構造物易損性到路網功能性

單一橋梁的損壞機率只是起點。運輸工程關心的是：當路網裡許多橋梁、路段同時受損，整體還能運作多少？

我們把路網模型化為一張圖 $G = (N, A)$，$N$ 是節點（路口）、$A$ 是路段（link）。地震後，每條含橋梁的路段都有一個「存活機率」，受損則該路段的通行能力 $c_a$ 下降甚至歸零。衡量路網功能性常用網路韌性三角形（resilience triangle）的概念：把系統功能 $Q(t)$ 對時間作圖，地震發生時功能驟降，隨著搶修逐步回復。韌性定義為功能損失在回復期間 $[t_0, t_1]$ 的積分：

$$ R = 1 - \frac{1}{t_1 - t_0} \int_{t_0}^{t_1} \big[\, Q_{\text{target}} - Q(t) \,\big]\, dt $$

$Q(t)$ 愈快回到目標水準、損失三角形面積愈小，韌性 $R$ 愈接近 1。這裡 $Q(t)$ 可以用很多指標衡量：路網總旅行時間、可達性（accessibility）、或「災後仍能在 15 分鐘內抵達醫院的人口比例」。

一個常用的功能性量度是系統旅行時間（total system travel time, TSTT）。在路段受損後容量下降，相同的需求被迫擠進剩餘路段，TSTT 會非線性飆升。這正是路網脆弱性的核心：少數關鍵橋梁失效，可能讓整個都會區的旅行時間倍增，而不是只損失那幾條路本身的容量。

另一個更貼近防災需求的指標是可達性（accessibility）：地震後仍能在指定時間（例如救護車的 15 分鐘黃金時間）內抵達醫院、避難所或物資集散點的人口比例。可達性把「路網拓樸」與「服務對象」連起來，因此即使兩座橋的車流量相近，靠近醫院、位於救援動線上的那一座，對可達性的貢獻可能遠高於另一座。這也提醒我們：路網韌性不是均質的，它取決於你關心的是哪一種功能、服務的是哪一群人——這正是把工程量化與公平性（equity）議題接軌的入口。

災後的車流會怎麼重新分配？

入門篇提到 Wardrop 使用者均衡（User Equilibrium, UE）：均衡時所有被使用路徑的旅行時間相等且最小。進階問題是——當路網拓樸被地震改變，車流如何重新找到新均衡？

關鍵工具是路段績效函數（link performance function），描述旅行時間隨流量增加而上升。最經典的是美國公路局的 BPR 函數（Bureau of Public Roads function）：

$$ t_a(x_a) = t_a^0 \left[ 1 + \alpha \left( \frac{x_a}{c_a} \right)^{\beta} \right] $$

其中 $t_a^0$ 是自由流旅行時間，$x_a$ 是路段流量，$c_a$ 是容量，典型參數 $\alpha = 0.15$、$\beta = 4$。注意 $\beta = 4$ 這個四次方——它意味著當流量逼近容量（$x_a / c_a \to 1$）時，旅行時間會急遽惡化。

地震讓某些路段的 $c_a$ 大幅下降，BPR 函數的分母變小，旅行時間爆增，車流被迫繞道。整個 UE 問題可寫成 Beckmann 變換的凸性最佳化：

$$ \min_{\mathbf{x}} \sum_{a \in A} \int_0^{x_a} t_a(\omega)\, d\omega \quad \text{s.t.} \quad \text{流量守恆與非負限制} $$

求解這個最佳化（常用 Frank–Wolfe 演算法）就能得到災後的新均衡車流分布，進而算出 TSTT 與功能性 $Q(t)$。

動手試試

考慮一個極簡的雙路徑網路：起點到終點有兩條平行路段，需求為 $D = 4000$ 輛/小時。

• 路段 1（含一座橋）：$t_1^0 = 10$ 分鐘，容量 $c_1 = 3000$ 輛/小時
• 路段 2（繞道）：$t_2^0 = 15$ 分鐘，容量 $c_2 = 2000$ 輛/小時

情境 A：地震前。 用 BPR（$\alpha = 0.15, \beta = 4$）。UE 要求兩路徑旅行時間相等 $t_1 = t_2$，且 $x_1 + x_2 = 4000$。直覺上較快、容量較大的路段 1 會分到較多流量。粗略試算當 $x_1 \approx 2600$、$x_2 \approx 1400$：

$$ t_1 = 10\left[1 + 0.15\left(\tfrac{2600}{3000}\right)^4\right] \approx 10 \times 1.0847 \approx 10.85 \text{ 分} $$

$$ t_2 = 15\left[1 + 0.15\left(\tfrac{1400}{2000}\right)^4\right] \approx 15 \times 1.036 \approx 15.5 \text{ 分} $$

兩者尚未相等，實際 UE 解會讓更多車留在路段 1（因為即使到 $x_1 = 3000$，$t_1 = 10 \times 1.15 = 11.5$ 分仍遠小於路段 2）。最終大部分需求集中在路段 1，系統運作順暢。

情境 B：地震後，橋梁嚴重損壞，路段 1 容量降為 $c_1 = 800$ 輛/小時。 現在路段 1 一旦流量超過 800 就急速惡化。試算若 $x_1 = 800$：

$$ t_1 = 10\left[1 + 0.15(1)^4\right] = 11.5 \text{ 分} $$

剩下 $4000 - 800 = 3200$ 輛被擠到繞道路段 2：

$$ t_2 = 15\left[1 + 0.15\left(\tfrac{3200}{2000}\right)^4\right] = 15\left[1 + 0.15 \times 6.55\right] \approx 15 \times 1.98 \approx 29.7 \text{ 分} $$

繞道路段嚴重超載，旅行時間從 15 分暴增到近 30 分。整個系統的旅行時間（TSTT $\approx \sum x_a t_a$）從地震前的約

$$ 2600 \times 10.85 + 1400 \times 15.5 \approx 28{,}210 + 21{,}700 = 49{,}910 \text{ 輛·分} $$

惡化到地震後的約

$$ 800 \times 11.5 + 3200 \times 29.7 \approx 9{,}200 + 95{,}040 = 104{,}240 \text{ 輛·分} $$

TSTT 翻了一倍以上，而我們「只」損失了一座橋。這個放大效應，正是路網韌性分析最想捕捉、也最值得投資補強的地方。

把不確定性串起來：地震災損的機率鏈

前面三段其實是一條完整的機率鏈，研究上稱為效能式地震工程（Performance-Based Earthquake Engineering, PBEE）框架，可用全機率定理串起來：

$$ \lambda(DV) = \int\!\!\int\!\!\int P(DV \mid DM)\, dP(DM \mid EDP)\, dP(EDP \mid IM)\, d\lambda(IM) $$

讀法是由右往左：從地震危害度（$\lambda(IM)$，場址多久會遇到多強的地震）→ 結構反應（$EDP$，Engineering Demand Parameter，如墩柱位移）→ 損壞量度（$DM$，前述易損性曲線）→ 決策變數（$DV$，如修復費用、路網功能損失天數）。每一層都有不確定性，全機率積分把它們一致地傳遞下去。

對運輸工程師而言，最終關心的 $DV$ 往往是「路網在地震後 $N$ 天內無法恢復至 80% 功能的年機率」，這直接決定了該優先補強哪幾座橋。台灣公路單位的橋梁耐震補強排序，背後就是這套風險導向（risk-based）的決策邏輯：不是把所有橋一起補（預算不夠），而是找出對路網韌性「邊際貢獻最大」的關鍵橋梁優先處理。

重點回顧

1. 易損性曲線把地震強度轉成損壞機率：用對數常態 $P = \Phi\big(\ln(x/\theta)/\beta\big)$，耐震補強的作用就是把中位數能力 $\theta$ 推高、曲線右移，顯著降低損壞機率。
2. 韌性是時間積分，不是單點狀態：韌性三角形 $R = 1 - \frac{1}{t_1-t_0}\int (Q_{\text{target}} - Q(t))\,dt$，同時取決於「掉多深」與「回復多快」。
3. 少數關鍵橋失效會非線性放大全網損失：因為 BPR 函數中 $\beta = 4$，容量下降後旅行時間急遽惡化，一座橋可能讓 TSTT 翻倍。
4. 災後車流靠 UE 重新指派：用 BPR 路段函數與 Beckmann 變換求新均衡，量化繞道造成的旅行時間增量。
5. PBEE 全機率鏈整合決策：從危害度、反應、損壞到決策變數一致傳遞不確定性，支撐風險導向的橋梁補強排序。

深入探討（研究所視角）

進入研究所層級，交通網路韌性會延伸到更精細的時空動態與最佳化問題：

動態交通指派（Dynamic Traffic Assignment, DTA）與疏散。 前述 UE 是靜態（static）均衡，假設需求與容量都是定值。但災後疏散是高度時變的：需求集中在短時間內湧出、容量隨搶修逐步恢復。DTA 用胞傳模型（Cell Transmission Model, CTM）離散化 LWR 守恆方程，把路段切成許多「胞（cell）」，逐時間步更新每個胞的車數，能捕捉壅塞波的時空傳播與「走走停停」。研究上會在 CTM 之上做系統最佳化疏散（system-optimal evacuation），求出讓最後一輛車最快離開危險區的時刻表（clearance time minimization）。

網路脆弱性與關鍵元件辨識。 「哪座橋最關鍵？」可形式化為一個雙層（bi-level）最佳化或攻防賽局：上層選擇移除（或補強）哪些路段，下層求對應的 UE 車流。這類 Network Interdiction 問題通常是 NP-hard，需用 Benders 分解、拉格朗日鬆弛或啟發式（如基因演算法）求近似解。近年也以圖神經網路（Graph Neural Network）學習路段重要性，加速大規模路網的關鍵元件篩選。

多重危害與級聯失效（cascading failure）。 台灣的地震常伴隨後續的山崩、土壤液化、甚至橋墩沖刷，而震損的路網又會在餘震中進一步惡化。研究前沿把這些建模為級聯與相依失效：一個元件的失效改變鄰近元件的負載與易損性，類似電力網的連鎖跳脫。如何在相依危害下評估系統層級的失效機率，是可靠度工程與運輸工程的交會難題。

韌性導向的設計與投資最佳化。 最終的決策問題是：在有限預算下，補強哪些橋、把多少錢花在事前減災（mitigation）vs. 事後搶修（recovery）能力？這可寫成一個隨機規劃（stochastic programming）問題，目標函數同時包含期望損失與韌性指標，並把氣候變遷下日益頻繁的複合災害納入情境集（scenario set）。這把運輸工程從「鋪路設號誌」推向風險管理、最佳化與公共政策的深水區——也是當代基礎設施研究最具挑戰性、最有社會意義的前沿之一。