為什麼台北的同一條路口，尖峰時要等三個紅燈？

為什麼台北的同一條路口，尖峰時要等三個紅燈？

每天早上八點，你站在台北市某個十字路口，明明綠燈亮了，卻因為前方車陣動彈不得，連續等了三次號誌才通過。這不是駕駛技術問題，而是一個典型的運輸工程（Transportation Engineering）問題：在有限的道路空間裡，需求（車流）超過了供給（路口的通行能力）。運輸工程師的工作，正是用量化的方法去描述車流、預測需求、設計道路幾何與號誌時制，讓人與物在城市裡安全、有效率、且公平地移動。

運輸工程橫跨土木工程與都市規劃，往下接觸鋪面材料與結構，往上連結交通規劃（Transportation Planning）與政策。它不只是「把路鋪寬一點」，而是涉及流量理論、容量分析、號誌最佳化，以及在台灣這種高人口密度、多機車、又位於地震帶的特殊環境下，如何兼顧防災與永續。這篇文章帶你從最基本的車流三變數出發，一路走到容量分析與號誌設計，並看看研究所層級會關心哪些更深的問題。

車流的三個基本變數：流量、速率與密度

要描述一條道路上的車流，運輸工程用三個巨觀（macroscopic）變數：

• 流量（Flow, $q$）：單位時間通過某斷面的車輛數，單位常用「輛/小時」（veh/h）。
• 速率（Speed, $v$）：車輛的平均行駛速率，單位「公里/小時」（km/h）。這裡通常指空間平均速率（space-mean speed）。
• 密度（Density, $k$）：單位長度道路上的車輛數，單位「輛/公里」（veh/km）。

這三者並非各自獨立，而是由一條基本的恆等式連結，稱為車流基本關係式（fundamental relation of traffic flow）：

$$ q = k \cdot v $$

這個式子的直覺很簡單：每公里有多少車（密度），乘上每小時走多少公里（速率），就是每小時通過的車數（流量）。它和流體力學的「流量＝密度×流速」是同一個概念。

舉個例子，若某路段密度 $k = 40$ 輛/公里，平均速率 $v = 60$ 公里/小時，則流量為

$$ q = 40 \times 60 = 2400 \ \text{veh/h} $$

速率—密度關係與最大流量

實務上速率與密度並非互相獨立。當路上車很少（密度低）時，大家可以開到接近自由流速率（free-flow speed, $v_f$）；當車愈來愈多（密度升高），彼此干擾使速率下降；直到密度達到壅塞密度（jam density, $k_j$）時，車輛保險桿貼保險桿，速率趨近於零。

最經典的模型是 Greenshields 線性模型，假設速率與密度呈線性遞減：

$$ v = v_f \left( 1 - \frac{k}{k_j} \right) $$

把它代入 $q = k v$，得到流量與密度的關係：

$$ q = v_f \left( k - \frac{k^2}{k_j} \right) $$

這是一條開口向下的拋物線。對 $k$ 微分並令其為零，可求出使流量最大的密度：

$$ \frac{dq}{dk} = v_f \left( 1 - \frac{2k}{k_j} \right) = 0 \quad \Rightarrow \quad k_m = \frac{k_j}{2} $$

也就是說，最大流量發生在密度等於壅塞密度的一半時。對應的速率為自由流速率的一半 $v_m = v_f / 2$，而最大流量（即道路的容量, capacity）為：

$$ q_{max} = k_m \cdot v_m = \frac{k_j}{2} \cdot \frac{v_f}{2} = \frac{v_f \, k_j}{4} $$

這個結果有個很重要的啟示：車開得最快的時候，路並不是用得最有效率的時候。當大家飆到自由流速率時，路上車很少，流量其實偏低；真正讓一條路「載最多車」的，是中等的速率與中等的密度。這也是為什麼高速公路匝道儀控（ramp metering）要刻意限制進入車流，避免主線密度超過 $k_m$ 而崩潰進入壅塞區。

號誌路口的容量與飽和流率

都市道路的瓶頸往往不在路段，而在號誌化路口（signalized intersection）。一個路口在一個號誌週期裡，每個方向只分到一段綠燈，因此它的有效通行能力遠低於路段。

關鍵參數是飽和流率（saturation flow rate, $s$）：假設綠燈一直亮著、車隊源源不絕，每小時每車道能通過的車輛數，台灣都會區一般取約 $s \approx 1800$ 輛/小時/車道。但實際綠燈只佔週期的一部分，所以某車道群的容量為：

$$ c = s \cdot \frac{g}{C} $$

其中 $g$ 是有效綠燈時間（effective green time），$C$ 是號誌週期長度（cycle length），$g/C$ 稱為綠燈比（green ratio）。

評估路口服務水準時，常用 $v/c$ 比（流量對容量比，又稱飽和度 degree of saturation, $X$）：

$$ X = \frac{v}{c} = \frac{v \cdot C}{s \cdot g} $$

當 $X$ 接近 1，代表這個方向已逼近容量上限，延滯急遽上升；超過 1 則表示需求超過供給，車隊會跨週期累積——這正是文章開頭「等三個紅燈」的數學原因。

號誌延滯與服務水準

路口的服務品質用平均控制延滯（average control delay, $d$）衡量，單位是秒/車。美國《道路容量手冊》（Highway Capacity Manual, HCM）把延滯拆成均勻延滯與隨機（增量）延滯。其中均勻延滯（uniform delay, $d_1$）假設車流均勻到達，可寫成：

$$ d_1 = \frac{0.5 \, C \left( 1 - \frac{g}{C} \right)^2}{1 - \left[ \min(X, 1) \cdot \frac{g}{C} \right]} $$

延滯算出後，依數值大小分為 A 到 F 六個服務水準（Level of Service, LOS）等級：A 表示延滯極短、暢行無阻；F 表示嚴重壅塞、延滯超過 80 秒/車。台灣都會區尖峰的主要幹道路口，常落在 D 到 F 之間。

看一個例子

某市區號誌路口的東向直行車道群，已知條件如下：

• 飽和流率 $s = 1800$ 輛/小時/車道
• 號誌週期 $C = 90$ 秒
• 該方向有效綠燈時間 $g = 36$ 秒
• 尖峰小時到達流量 $v = 600$ 輛/小時（單車道）

步驟一：計算綠燈比與容量

$$ \frac{g}{C} = \frac{36}{90} = 0.40 $$

$$ c = s \cdot \frac{g}{C} = 1800 \times 0.40 = 720 \ \text{veh/h} $$

步驟二：計算飽和度 $X$

$$ X = \frac{v}{c} = \frac{600}{720} \approx 0.833 $$

$X$ 約為 0.83，尚未飽和，但已偏高，代表這個方向在尖峰時相當吃緊。

步驟三：計算均勻延滯

$$ d_1 = \frac{0.5 \times 90 \times (1 - 0.40)^2}{1 - (0.833 \times 0.40)} = \frac{45 \times 0.36}{1 - 0.333} = \frac{16.2}{0.667} \approx 24.3 \ \text{秒/車} $$

每輛車平均要承受約 24 秒的均勻延滯，對照 HCM 的 LOS 分級，約落在 LOS C（延滯 20–35 秒）。若再加上隨機延滯與台灣特有的機車鑽行干擾，實際感受可能更接近 D 級。

步驟四：政策意涵

若想改善，工程師可以調整綠燈比（給東向更多綠燈，但會排擠其他方向）、縮短週期，或從需求面著手（鼓勵大眾運輸、調整路口轉向設計）。任何一個調整都是「拆東牆補西牆」，這也是號誌最佳化的核心難題：在多個衝突方向之間分配有限的時間資源。

台灣環境的特殊考量：機車、地震與永續

台灣的運輸工程有幾個不能忽視的在地條件：

機車混合車流。 台灣機車密度極高，停等時的「機車待轉區」與綠燈起步時的鑽行行為，使傳統以小客車為基準的飽和流率模型需要修正。實務上會用「機車當量（motorcycle equivalent）」或專門的混合車流模型，避免高估或低估容量。

地震與生命線系統。 道路與橋梁是震災後的「生命線（lifeline）」，承擔救災與疏散功能。台灣位於環太平洋地震帶，公路橋梁須依《公路橋梁耐震設計規範》設計，並考慮土壤液化潛勢區的路基處理。一旦主要橋梁在強震中受損，整個路網的疏散與救援都會癱瘓，因此關鍵路段的耐震補強是運輸防災規劃的重點。

永續與淨零。 運輸部門是溫室氣體排放大宗。從號誌連鎖（signal coordination，俗稱「綠波帶」）減少停等怠速，到推動公共運輸導向發展（Transit-Oriented Development, TOD）與電動運具，運輸工程正逐步把「碳排」納入路網設計的目標函數，而不只是追求車速。

重點回顧

1. 車流三變數由 $q = k \cdot v$ 連結：流量等於密度乘速率，是所有車流分析的起點。
2. 最大流量不在最高速率時發生：依 Greenshields 模型，容量出現在密度為壅塞密度一半（$k_m = k_j/2$）、速率為自由流一半時，$q_{max} = v_f k_j / 4$。
3. 號誌路口容量受綠燈比限制：$c = s \cdot (g/C)$，飽和度 $X = v/c$ 是判斷路口是否瀕臨壅塞的關鍵指標。
4. 延滯決定服務水準：均勻延滯公式把週期、綠燈比與飽和度連起來，再依 LOS A–F 分級評估品質。
5. 台灣情境需在地修正：高機車比例、地震生命線需求與淨零目標，都讓運輸工程超越單純的車速最佳化。

深入探討（研究所視角）

進入研究所層級，運輸工程的問題會從「描述單一路段／路口」躍升到「理解整個動態網路」，以下幾個方向值得關注：

動態車流模型與激波理論（Shockwave Theory）。 巨觀車流可用偏微分方程描述，最經典的是 LWR 模型（Lighthill–Whitham–Richards），其守恆方程為

$$ \frac{\partial k}{\partial t} + \frac{\partial q}{\partial x} = 0 $$

配合基本圖（fundamental diagram）$q = Q(k)$，可解析出車流中「壅塞波」的傳播速率：兩個狀態交界處的激波速率為

$$ u_w = \frac{q_2 - q_1}{k_2 - k_1} $$

當 $u_w$ 為負，代表壅塞由前向後傳播——這解釋了為什麼塞車的「車尾」會逆著車流方向不斷往後延伸。研究所會進一步探討二階模型（如 Payne–Whitham、ARZ 模型）如何修正 LWR 無法描述的「走走停停（stop-and-go）」現象。

需求預測的四階段模式。 交通規劃的骨幹是四階段需求模式（four-step model）：旅次發生（trip generation）、旅次分布（trip distribution，常用重力模型）、運具分配（mode choice，常用 logit 模型）、路網指派（traffic assignment，常用 Wardrop 使用者均衡）。其中使用者均衡（User Equilibrium）的核心是 Wardrop 第一原理：在均衡狀態下，所有被使用路徑的旅行時間相等且最小，這可化為一個凸性最佳化問題求解。

號誌最佳化與網路控制。 從單點號誌的 Webster 最佳週期公式

$$ C_o = \frac{1.5 L + 5}{1 - Y} $$

（其中 $L$ 為總損失時間，$Y$ 為各相位臨界流量比之和），到區域協調控制、適應性號誌（adaptive signal control），乃至近年以強化學習（reinforcement learning）做即時號誌調控，都是活躍的研究領域。

新興主題。 自駕車（autonomous vehicles）與車聯網（V2X）如何改變飽和流率與跟車行為？共享移動（shared mobility）與 MaaS（Mobility as a Service）如何納入傳統需求模式？以及在氣候變遷下，如何把韌性（resilience）與碳排明確寫進路網設計的目標函數？這些問題把運輸工程從「土木的一個分支」推向資料科學、最佳化與公共政策的交會點，也是當代研究最有活力的前沿。